Toán 9 - Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Lý thuyết và bài tập

{
  "meta": {
    "prefix": "bai9-11",
    "grade": "Toán 9",
    "lessonNumber": "Bài 11",
    "title": "Tỉ số lượng giác của góc nhọn",
    "book": "Kết nối tri thức với cuộc sống",
    "chapter": "Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông",
    "description": "Bài học cung cấp định nghĩa về các tỉ số lượng giác của góc nhọn (sin, cos, tan, cot), bảng giá trị của các góc đặc biệt và mối liên hệ giữa các tỉ số của hai góc phụ nhau."
  },
"intro": "Trong chương này, chúng ta sẽ bước đầu tìm hiểu về 'Lượng giác' – một nhánh toán học quan trọng kết nối giữa số đo góc và độ dài các cạnh trong tam giác vuông. Các tỉ số lượng giác không chỉ là công cụ để giải tam giác mà còn có ứng dụng thực tiễn to lớn trong kỹ thuật, kiến trúc và đo đạc địa lý.",
  "sources": [
    "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11, trang 66-73.",
    "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11, trang 79-80.",
    "SGV Toán 9 - Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11, trang 91-97."
],
"objectives": [
    "Nhận biết và định nghĩa được các tỉ số lượng giác: \\(\\sin\\), \\(\\cos\\), \\(\\tan\\), \\(\\cot\\) của một góc nhọn.",
    "Giải thích được tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt (\\(30^{\\circ}, 45^{\\circ}, 60^{\\circ}\\)) và của hai góc phụ nhau.",
    "Biết cách sử dụng máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho trước và ngược lại, tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác của nó.",
    "Áp dụng tỉ số lượng giác để giải quyết một số vấn đề thực tiễn (ví dụ: tính độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc trong các tình huống thực tế)."
],
"knowledge": [
  {
    "title": "1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn",

"content": [
      "Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\), có góc nhọn \\(\\widehat{B} = \\alpha\\).",
      "\\(\\sin \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh đối}}{\\text{Cạnh huyền}} = \\frac{AC}{BC}\\)",
      "\\(\\cos \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh kề}}{\\text{Cạnh huyền}} = \\frac{AB}{BC}\\)",
      "\\(\\tan \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh đối}}{\\text{Cạnh kề}} = \\frac{AC}{AB}\\)",
      "\\(\\cot \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh kề}}{\\text{Cạnh đối}} = \\frac{AB}{AC}\\)"
    ],

"figure": [
 {
 "type": "svg",
 "data": "<svg width='280' height='180' viewBox='0 0 280 180' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M60 140 L240 140 L60 40 Z' fill='#f0f7ff' stroke='#2563eb' stroke-width='2.5'/><rect x='60' y='130' width='10' height='10' fill='none' stroke='#2563eb' stroke-width='1.5'/><text x='45' y='155' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>A</text><text x='245' y='155' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>B (α)</text><text x='45' y='35' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>C</text><text x='150' y='160' font-size='13' fill='#475569' text-anchor='middle'>Cạnh kề</text><text x='35' y='95' font-size='13' fill='#475569' transform='rotate(-90 35,95)' text-anchor='middle'>Cạnh đối</text><text x='170' y='85' font-size='13' fill='#475569' transform='rotate(30,170,85)' text-anchor='middle'>Cạnh huyền</text></svg>",
 "caption": "Hình 1: Các cạnh của tam giác vuông đối với góc nhọn α"
 }
 ],

"table": [],

"example": {
 "content": "Ví dụ 1: Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\) có \\(AB = 3\\) cm, \\(AC = 4\\) cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc \\(B\\). Lời giải: 1. Tính cạnh huyền: \\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \\implies BC = 5\\) cm. 2. Các tỉ số: \\(\\sin B = \\frac{4}{5} = 0,8\\); \\(\\cos B = \\frac{3}{5} = 0,6\\); \\(\\tan B = \\frac{4}{3}\\); \\(\\cot B = \\frac{3}{4} = 0,75\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },

{
 "title": "2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau",
 "content": [
 "Nếu hai góc nhọn \\(\\alpha\\) và \\(\\beta\\) phụ nhau (tổng bằng \\(90^{\\circ}\\)) thì:",
 "\\(\\sin \\alpha = \\cos \\beta\\) và \\(\\cos \\alpha = \\sin \\beta\\)",
 "\\(\\tan \\alpha = \\cot \\beta\\) và \\(\\cot \\alpha = \\tan \\beta\\)"
 ],
 "figure": [
 {
 "type": "svg",
 "data": "<svg width='280' height='160' viewBox='0 0 280 160' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M60 130 L220 130 L60 30 Z' fill='none' stroke='#22c55e' stroke-width='2'/><text x='180' y='125' font-weight='bold' fill='#15803d'>α</text><text x='65' y='55' font-weight='bold' fill='#15803d'>β</text><text x='140' y='155' font-size='12' fill='#666'>α + β = 90°</text></svg>",
 "caption": "Hình 2: Hai góc phụ nhau trong tam giác vuông"
 }
 ],

"table": [],

"example": {
 "content": "Ví dụ 2: Không dùng máy tính, hãy so sánh \\(\\tan 25^{\\circ}\\) và \\(\\cot 65^{\\circ}\\). Lời giải: Vì \\(25^{\\circ} + 65^{\\circ} = 90^{\\circ}\\) nên hai góc này phụ nhau. Theo tính chất, ta có: \\(\\tan 25^{\\circ} = \\cot 65^{\\circ}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },

{
    "title": "3. Sử dụng máy tính cầm tay",
    "content": [
      "Dùng máy tính để tính tỉ số lượng giác khi biết góc: Nhập góc nhọn sau khi bấm các phím \\(\\sin, \\cos, \\tan\\).",
      "Dùng máy tính để tìm góc khi biết tỉ số: Sử dụng các phím ngược \\(\\sin^{-1}, \\cos^{-1}, \\tan^{-1}\\) (thường nhấn phím SHIFT trước)."
    ],

"example": {
 "content": "Ví dụ 3: Tìm góc nhọn \\(x\\) (làm tròn đến phút) biết \\(\\sin x = 0,3214\\). Lời giải: Sử dụng máy tính: Bấm SHIFT \\(\\sin\\) 0,3214 = . Ta được \\(x \\approx 18^{\\circ}45'\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 }
],
"quickQuestions": [
 {
 "q": "Bất đẳng thức nào sau đây mô tả tình huống: 'Vận tốc \\(v\\) của xe tối đa là 70 km/h'?",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(v > 70\\)",
 "\\(v < 70\\)",
 "\\(v \\ge 70\\)",
 "\\(v \\le 70\\)"
 ],
 "answer": "\\(v \\le 70\\)",
 "explain": {
 "content": "Cụm từ 'tối đa' tương đương với việc giá trị đó nhỏ hơn hoặc bằng 70.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Cho \\(m < n\\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(m + 5 < n + 5\\)",
 "\\(m + 5 > n + 5\\)",
 "\\(m - 5 > n - 5\\)",
 "\\(m = n\\)"
 ],
 "answer": "\\(m + 5 < n + 5\\)",
 "explain": {
 "content": "Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức vẫn giữ nguyên chiều.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức \\(a > b\\) với số âm \\(-3\\), ta được kết quả là:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(-3a > -3b\\)",
 "\\(-3a < -3b\\)",
 "\\(3a > 3b\\)",
 "\\(a - 3 > b - 3\\)"
 ],
 "answer": "\\(-3a < -3b\\)",
 "explain": {
 "content": "Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Áp dụng tính chất bắc cầu, nếu \\(x < y\\) và \\(y < 10\\) thì:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(x > 10\\)",
 "\\(x < 10\\)",
 "\\(x = 10\\)",
 "\\(y > 10\\)"
 ],
 "answer": "\\(x < 10\\)",
 "explain": {
 "content": "Theo tính chất bắc cầu: nếu \\(a < b\\) và \\(b < c\\) thì \\(a < c\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Cho \\(x \\le y\\). Khẳng định nào sau đây đúng khi chia cả hai vế cho 2?",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(\\frac{x}{2} \\ge \\frac{y}{2}\\)",
 "\\(\\frac{x}{2} < \\frac{y}{2}\\)",
 "\\(\\frac{x}{2} \\le \\frac{y}{2}\\)",
 "\\(x \\le 2y\\)"
 ],
 "answer": "\\(\\frac{x}{2} \\le \\frac{y}{2}\\)",
 "explain": {
 "content": "Vì 2 là số dương nên khi chia hai vế của bất đẳng thức cho 2, chiều của bất đẳng thức được giữ nguyên.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Trong bất đẳng thức \\(5x - 3 > 2x + 1\\), biểu thức ở vế trái là:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(2x + 1\\)",
 "\\(5x\\)",
 "\\(5x - 3\\)",
 "\\(-3\\)"
 ],
 "answer": "\\(5x - 3\\)",
 "explain": {
 "content": "Trong một bất đẳng thức, biểu thức nằm bên trái dấu so sánh được gọi là vế trái.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 }
],
"sgkExercises": [
 {
 "number": "Bài 2.6",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 35",
 "question": {
 "content": "Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau: a) \\(x\\) nhỏ hơn hoặc bằng \\(-2\\); b) \\(m\\) là số âm; c) \\(y\\) là số dương; d) \\(p\\) lớn hơn hoặc bằng \\(2,024\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Sử dụng các kí hiệu \\(<, >, \\le, \\ge\\). Lưu ý số âm là nhỏ hơn 0, số dương là lớn hơn 0.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "solution": {
 "content": "a) \\(x \\le -2\\). b) \\(m < 0\\). c) \\(y > 0\\). d) \\(p \\ge 2,024\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 2.7",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 35",
 "question": {
 "content": "Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau: a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô; b) Xe buýt chở được tối đa 45 người; c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Cụm từ 'ít nhất' và 'tối thiểu' tương ứng với \\(\\ge\\), cụm từ 'tối đa' tương ứng với \\(\\le\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "solution": {
 "content": "a) Gọi \\(a\\) là độ tuổi lái xe, ta có \\(a \\ge 18\\). b) Gọi \\(n\\) là số người trên xe buýt, ta có \\(n \\le 45\\). c) Gọi \\(s\\) là mức lương theo giờ, ta có \\(s \\ge 20\\,000\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 2.8",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 35",
 "question": {
 "content": "Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh: a) \\(2\\cdot(-7)+2\\,023<2\\cdot(-1)+2\\,023\\); b) \\((-3)\\cdot(-8)+1\\,975>(-3)\\cdot(-7)+1\\,975\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Sử dụng liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. Lưu ý đổi chiều khi nhân với số âm.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "solution": {
 "content": "a) Vì \\(-7<-1\\) và \\(2>0\\) nên \\(2(-7)<2(-1)\\). Cộng hai vế với \\(2\\,023\\) được \\(2(-7)+2\\,023<2(-1)+2\\,023\\). b) Vì \\(-8<-7\\) và \\(-3<0\\) nên \\((-3)(-8)>(-3)(-7)\\). Cộng hai vế với \\(1\\,975\\) được \\((-3)(-8)+1\\,975>(-3)(-7)+1\\,975\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 2.9",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 35",
 "question": {
 "content": "Cho \\(a<b\\), hãy so sánh: a) \\(5a+7\\) và \\(5b+7\\); b) \\(-3a-9\\) và \\(-3b-9\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Áp dụng tính chất nhân và cộng của bất đẳng thức.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "solution": {
 "content": "a) Từ \\(a<b\\), nhân với \\(5>0\\): \\(5a<5b\\). Cộng 7 vào hai vế được \\(5a+7<5b+7\\). b) Từ \\(a<b\\), nhân với \\(-3<0\\) nên đổi chiều: \\(-3a>-3b\\). Cộng \\(-9\\) vào hai vế được \\(-3a-9>-3b-9\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 2.10",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 35",
 "question": {
 "content": "So sánh hai số \\(a\\) và \\(b\\), nếu: a) \\(a+1\\,954<b+1\\,954\\); b) \\(-2a>-2b\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Sử dụng quy tắc cộng cùng một số hoặc chia cho cùng một số.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "solution": {
 "content": "a) Trừ hai vế cho \\(1\\,954\\), suy ra \\(a<b\\). b) Chia hai vế cho \\(-2\\) (đổi chiều bất đẳng thức), suy ra \\(a<b\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 2.11",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 35",
 "question": {
 "content": "Chứng minh rằng: a) \\(\\frac{2\\,023}{2\\,024}<\\frac{2\\,024}{2\\,023}\\); b) \\(\\frac{34}{11}>\\frac{26}{9}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Sử dụng tính chất bắc cầu qua số trung gian là 1 hoặc một số thích hợp.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "solution": {
 "content": "a) \\(\\frac{2\\,023}{2\\,024}<1<\\frac{2\\,024}{2\\,023}\\), nên \\(\\frac{2\\,023}{2\\,024}<\\frac{2\\,024}{2\\,023}\\). b) \\(\\frac{34}{11}=3+\\frac1{11}>3\\) và \\(\\frac{26}{9}=2+\\frac89<3\\). Suy ra \\(\\frac{34}{11}>3>\\frac{26}{9}\\), nên \\(\\frac{34}{11}>\\frac{26}{9}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
}
],
"sbtExercises": [
 {
 "number": "Bài 2.7",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",
 "question": {
 "content": "Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô ở: a) Ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa (giới hạn 100 và 60); b) Ở làn ngoài cùng bên phải (giới hạn 80 và 50).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "hint": {
 "content": "Tốc độ cho phép \\(x\\) (km/h) phải nằm trong khoảng từ giá trị tối thiểu đến giá trị tối đa ghi trên biển báo.",
 "figure": [],
 "table": []
 },

"solution": {
 "content": "a) Ở làn ngoài cùng bên trái và làn giữa, tốc độ \\(x\\) thỏa mãn bất đẳng thức: \\(60 \\le x \\le 100\\). b) Ở làn ngoài cùng bên phải, tốc độ \\(x\\) thỏa mãn bất đẳng thức: \\(50 \\le x \\le 80\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 2.8",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",

"question": {
 "content": "Viết bất đẳng thức để mô tả tình huống sau: a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội; b) Một thang máy chở được tối đa 700 kg; c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1,000,000 đồng mới được giảm giá; d) Bạn phải ném vào rổ ít nhất 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.",
 "figure": [],
 "table": []
 },

"hint": {
    "content": "Cụm từ 'ít nhất' tương ứng với dấu lớn hơn hoặc bằng (\\(\\ge\\)), 'tối đa' tương ứng với dấu nhỏ hơn hoặc bằng (\\(\\le\\)).",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"solution": {
 "content": "a) Gọi \\(t\\) là tuổi của một người, ta có bất đẳng thức: \\(t \\ge 18\\). b) Gọi \\(m\\) là khối lượng hàng hóa (kg) thang máy chở, ta có: \\(m \\le 700\\). c) Gọi \\(x\\) là giá trị hóa đơn (đồng), ta có: \\(x \\ge 1,000,000\\). d) Gọi \\(n\\) là số quả bóng ném trúng rổ, ta có: \\(n \\ge 5\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
},
{
 "number": "Bài 2.9",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",

"question": {
 "content": "So sánh: a) \\(\\frac{2019}{1010}\\) và \\(\\frac{201}{100}\\); b) \\(\\frac{2024 . 2024 - 1}{2024}\\) và \\(\\frac{2025 . 2025 + 1}{2025}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },

"hint": {
    "content": "Sử dụng số trung gian (thường là số 2 hoặc số nguyên gần nhất) hoặc biến đổi biểu thức để so sánh phần dư.",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"solution": {
 "content": "a) Ta có \\(\\frac{2019}{1010} < 2\\) (vì 2019 < 2020) và \\(\\frac{201}{100} > 2\\) (vì 201 > 200). Theo tính chất bắc cầu, suy ra \\(\\frac{2019}{1010} < \\frac{201}{100}\\). b) Biểu thức thứ nhất bằng \\(2024 - \\frac{1}{2024}\\), giá trị này nhỏ hơn 2024. Biểu thức thứ hai bằng \\(2025 + \\frac{1}{2025}\\), giá trị này lớn hơn 2025. Vì 2024 < 2025 nên biểu thức thứ nhất nhỏ hơn biểu thức thứ hai.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
},
 {
 "number": "Bài 2.10",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",

"question": {
 "content": "Cho \\(a > b\\), hãy so sánh: a) \\(20a + 5b\\) và \\(20b + 5a\\); b) \\(-3(a + b) - 1\\) và \\(-6b - 1\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },

"hint": {
    "content": "Sử dụng phương pháp xét hiệu hoặc biến đổi vế này thành vế kia dựa trên giả thiết \\(a > b\\).",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"solution": {
 "content": "a) Xét hiệu: \\((20a + 5b) - (20b + 5a) = 15a - 15b = 15(a - b)\\). Vì \\(a > b\\) nên \\(a - b > 0\\), suy ra \\(15(a - b) > 0\\). Vậy \\(20a + 5b > 20b + 5a\\). b) Ta có biểu thức đầu là \\(-3a - 3b - 1\\). Xét hiệu với biểu thức sau: \\((-3a - 3b - 1) - (-6b - 1) = -3a + 3b = -3(a - b)\\). Vì \\(a > b\\) nên \\(a - b > 0\\), suy ra \\(-3(a - b) < 0\\). Vậy \\(-3(a + b) - 1 < -6b - 1\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
},
{
 "number": "Bài 2.11",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",

"question": {
 "content": "Cho \\(a > b > 0\\), chứng minh rằng: a) bình phương của \\(a\\) lớn hơn \\(ab\\) và \\(ab\\) lớn hơn bình phương của \\(b\\); b) bình phương của \\(a\\) lớn hơn bình phương của \\(b\\) và lập phương của \\(a\\) lớn hơn lập phương của \\(b\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },

"hint": {
    "content": "Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \\(a > b\\) với cùng một số dương thích hợp.",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"solution": {
 "content": "a) Nhân cả hai vế của \\(a > b\\) với số dương \\(a\\), ta được bình phương của \\(a\\) lớn hơn \\(ab\\). Nhân cả hai vế của \\(a > b\\) với số dương \\(b\\), ta được \\(ab\\) lớn hơn bình phương của \\(b\\). b) Từ câu a, theo tính chất bắc cầu, ta có bình phương của \\(a\\) lớn hơn bình phương của \\(b\\). Tương tự, nhân hai vế của bất đẳng thức này với số dương \\(a\\) để suy ra lập phương của \\(a\\) lớn hơn lập phương của \\(b\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
},
{
 "number": "Bài 2.12",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",

"question": {
    "content": "Chứng minh rằng với mọi số thực \\(a, b\\), ta có: một nửa của tổng bình phương \\(a\\) và bình phương \\(b\\) luôn lớn hơn hoặc bằng \\(ab\\).",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"hint": {
    "content": "Sử dụng phương pháp xét hiệu và hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"solution": {
    "content": "Xét hiệu: \\(\\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2} = \\frac{(a - b)^2}{2}\\). Vì bình phương của mọi số thực luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên hiệu này không âm. Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.",
    "figure": [],
    "table": []
  }
},
{
  "number": "Bài 2.13",
  "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 25",

"question": {
    "content": "Chứng minh rằng: Trong ba số tự nhiên liên tiếp, bình phương của số đứng giữa luôn lớn hơn tích của hai số còn lại.",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"hint": {
    "content": "Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \\(n-1, n, n+1\\) với \\(n \\ge 1\\).",
    "figure": [],
    "table": []
  },

"solution": {
 "content": "Xét ba số tự nhiên liên tiếp \\(n-1, n, n+1\\). Bình phương của số đứng giữa là \\(n^2\\). Tích của hai số còn lại là \\((n-1)(n+1)=n^2-1\\). Ta có \\(n^2>n^2-1\\), nên bình phương của số đứng giữa luôn lớn hơn tích của hai số còn lại.",
 "figure": [],
 "table": []
 }
}
],
"quiz": [
 {
 "q": "Mức 1 - Nhận biết: Bất đẳng thức nào sau đây mô tả tình huống: 'Giá trị của biểu thức \\(x\\) không vượt quá 100'?",
 "options": [
 "\\(x < 100\\)",
 "\\(x > 100\\)",
 "\\(x \\le 100\\)",
 "\\(x \\ge 100\\)"
 ],
 "answer": "\\(x \\le 100\\)",
 "explain": "Cụm từ 'không vượt quá' trong toán học tương ứng với quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng."
 }
],
"finalTest": {
 "mcq": [
 {
 "q": {
 "content": "Câu 1: Khẳng định 'Biểu thức \\(A\\) không nhỏ hơn 50' được mô tả bằng bất đẳng thức nào sau đây?",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "options": [
 "\\(A < 50\\)",
 "\\(A > 50\\)",
 "\\(A \\le 50\\)",
 "\\(A \\ge 50\\)"
 ],
 "answer": 3
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 2: Cho biết \\(m + 2,5 < n + 2,5\\). Khẳng định nào sau đây về quan hệ giữa \\(m\\) và \\(n\\) là đúng?",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "options": [
 "\\(m > n\\)",
 "\\(m < n\\)",
 "\\(m = n\\)",
 "\\(m \\ge n\\)"
 ],
 "answer": 1
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 3: Với giả thiết \\(a < b\\), khẳng định nào sau đây luôn luôn đúng?",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "options": [
 "\\(-a < -b\\)",
 "\\(\\frac{a}{-4} < \\frac{b}{-4}\\)",
 "\\(\\frac{a}{-4} > \\frac{b}{-4}\\)",
 "\\(a - 1 > b - 1\\)"
 ],
 "answer": 2
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 4: Dựa trên tính chất bắc cầu, nếu biết \\(x > y\\) và \\(y > 5\\) thì ta có thể kết luận:",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "options": [
 "\\(x < 5\\)",
 "\\(x = 5\\)",
 "\\(x > 5\\)",
 "\\(y < 5\\)"
 ],
 "answer": 2
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 5: Cho \\(a < b\\). Khi so sánh hai biểu thức \\(3a - 7\\) và \\(3b - 7\\), kết quả thu được là:",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "options": [
 "\\(3a - 7 < 3b - 7\\)",
 "\\(3a - 7 > 3b - 7\\)",
 "\\(3a - 7 = 3b - 7\\)",
 "Không đủ dữ kiện để so sánh"
 ],
 "answer": 0
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 6: Một biển báo giới hạn chiều cao xe khi đi qua hầm ghi 'Tối đa 1,5 m'. Bất đẳng thức nào mô tả đúng chiều cao \\(h\\) (m) của xe được phép đi qua?",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "options": [
 "\\(h > 1,5\\)",
 "\\(h < 1,5\\)",
 "\\(h \\le 1,5\\)",
 "\\(h \\ge 1,5\\)"
 ],
 "answer": 2
 }
 ],

"tf": [
 {
 "q": {
 "content": "Câu 7: Cho biết \\(x < y\\). Hãy xác định tính đúng (Đ) hoặc sai (S) của các khẳng định sau:",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "items": [
 {
 "t": {
 "content": "Bất đẳng thức \\(x - 5 < y - 5\\) là một khẳng định đúng.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": true
 },
 {
 "t": {
 "content": "Bất đẳng thức \\(10x < 10y\\) là một khẳng định đúng.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": true
 },
 {
 "t": {
 "content": "Bất đẳng thức \\(-x < -y\\) là một khẳng định đúng.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": false
 },
 {
 "t": {
 "content": "Bất đẳng thức \\(\\frac{x}{2} > \\frac{y}{2}\\) là một khẳng định đúng.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": false
 }
 ]
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 8: Cho số thực dương \\(a > 0\\). Hãy xác định các tính chất sau là đúng hay sai:",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "items": [
 {
 "t": {
 "content": "Giá trị của biểu thức \\(a + 1\\) luôn lớn hơn 1.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": true
 },
 {
 "t": {
 "content": "Số đối của \\(a\\) là \\(-a\\) luôn nhỏ hơn 0.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": true
 },
 {
 "t": {
 "content": "Bình phương của \\(a\\) là \\(a^2\\) luôn lớn hơn 0.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": true
 },
 {
 "t": {
 "content": "Giá trị nghịch đảo \\(\\frac{1}{a}\\) luôn là một số âm.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "ans": false
 }
 ]
 }
 ],

"short": [
 {
 "q": {
 "content": "Câu 9: Nếu biết \\(3x > 15\\), hãy tìm số thực mà giá trị của \\(x\\) phải lớn hơn số đó.",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "answer": "5"
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \\(x^2 + 7,8\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 },
 "answer": "7,8"
 }
 ]
},
"faq": [
 {
 "q": "Làm thế nào để phân biệt ý nghĩa giữa ký hiệu \\(<\\) và \\(\\le\\)?",
 "a": "Ký hiệu \\(<\\) (nhỏ hơn) được dùng khi vế trái chắc chắn không thể bằng vế phải. Ký hiệu \\(\\le\\) (nhỏ hơn hoặc bằng) dùng cho các tình huống mà vế trái có thể nhỏ hơn hoặc có thể bằng đúng giá trị ở vế phải, ví dụ như cụm từ 'tối đa' hay 'không vượt quá'."
 },
 {
 "q": "Khi nào ta bắt buộc phải đổi chiều bất đẳng thức?",
 "a": "Ta chỉ đổi chiều bất đẳng thức khi thực hiện nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số **âm**. Nếu cộng, trừ hoặc nhân với cùng một số dương, chiều của bất đẳng thức luôn được giữ nguyên."
 },
 {
 "q": "Tính chất bắc cầu có thể áp dụng cho bao nhiêu số thực?",
 "a": "Tính chất bắc cầu có thể áp dụng cho một chuỗi nhiều số thực liên tiếp. Ví dụ: Nếu \\(a < b\\), \\(b < c\\) và \\(c < d\\) thì ta hoàn toàn có thể kết luận \\(a < d\\)."
 },
 {
 "q": "Tại sao biểu thức bình phương của một số cộng với một số dương luôn lớn hơn 0?",
 "a": "Vì bình phương của bất kỳ số thực nào (\\(x^2\\)) cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Khi ta cộng thêm một số dương vào (ví dụ: \\(x^2 + 5\\)), tổng thu được chắc chắn sẽ luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của \\(x\\)."
 },
 {
 "q": "Làm thế nào để kiểm tra một bất đẳng thức là đúng hay sai?",
 "a": "Để kiểm tra, ta có thể xét hiệu của vế trái và vế phải. Nếu chứng minh được hiệu \\(Vế trái - Vế phải < 0\\) thì bất đẳng thức \\(Vế trái < Vế phải\\) là khẳng định đúng."
 }
],
"seo": {
 "title": "Toán 9 Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất - Kết nối tri thức | Math Tricks",
 "labels": "Bài 5 Toán 9, Bài tập Toán 9, Chương II Toán 9, Bất đẳng thức và tính chất, Tính chất bất đẳng thức, Toán 9, Toán 9 Kết nối tri thức, Math Tricks",
 "description": "Math Tricks: Toán 9 Chương II Bài 5 - Lý thuyết về bất đẳng thức, tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân, quy tắc đổi chiều khi nhân với số âm và lời giải bài tập chi tiết.",
 "link": "toan-9-bai-5-bat-dang-thuc-va-tinh-chat"
}
}

Tác giả nội dung

Math Tricks

Bài học được biên soạn theo hướng dễ hiểu, trực quan và truyền cảm hứng học Toán. Vui lòng ghi nguồn Math Tricks khi chia sẻ hoặc sử dụng lại nội dung.

📘 Toán THCS 🎮 Học tương tác 🧠 Mẹo học nhanh ✅ Có lời giải

🏠 Trang chủ 📚 Toán 6 📚 Toán 7 📚 Toán 8 📚 Toán 9

📚 Bài mới cập nhật

Đang tải bài viết...

Math Tricks

Toán 9 - Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Lý thuyết và bài tập

Math Tricks

📚 Bài mới cập nhật

Tìm kiếm bài học

Ngôn Ngữ

Liên hệ/Góp ý

Số lượt truy cập gần đây

Từ khóa bài học