Toán 9 - Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Lý thuyết và bài tập - Lý thuyết và bài tập - Kết nối tri thức

{
  "meta": {
    "prefix": "bai9-11",
    "grade": "Toán 9",
    "lessonNumber": "Bài 11",
    "title": "Tỉ số lượng giác của góc nhọn",
    "book": "Kết nối tri thức với cuộc sống",
    "chapter": "Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông",
    "description": "Bài học cung cấp định nghĩa về các tỉ số lượng giác của góc nhọn (sin, cos, tan, cot), bảng giá trị của các góc đặc biệt và mối liên hệ giữa các tỉ số của hai góc phụ nhau."
  },
"intro": "Trong chương này, chúng ta sẽ bước đầu tìm hiểu về 'Lượng giác' – một nhánh toán học quan trọng kết nối giữa số đo góc và độ dài các cạnh trong tam giác vuông. Các tỉ số lượng giác không chỉ là công cụ để giải tam giác mà còn có ứng dụng thực tiễn to lớn trong kỹ thuật, kiến trúc và đo đạc địa lý.",
  "sources": [
    "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11, trang 66-73.",
    "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11, trang 79-80.",
    "SGV Toán 9 - Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11, trang 91-97."
],
"objectives": [
    "Nhận biết và định nghĩa được các tỉ số lượng giác: \\(\\sin\\), \\(\\cos\\), \\(\\tan\\), \\(\\cot\\) của một góc nhọn.",
    "Giải thích được tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt (\\(30^{\\circ}, 45^{\\circ}, 60^{\\circ}\\)) và của hai góc phụ nhau.",
    "Biết cách sử dụng máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho trước và ngược lại, tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác của nó.",
    "Áp dụng tỉ số lượng giác để giải quyết một số vấn đề thực tiễn (ví dụ: tính độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc trong các tình huống thực tế)."
],
"knowledge": [
  {
    "title": "1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn",

"content": [
      "Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\), có góc nhọn \\(\\widehat{B} = \\alpha\\).",
      "\\(\\sin \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh đối}}{\\text{Cạnh huyền}} = \\frac{AC}{BC}\\)",
      "\\(\\cos \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh kề}}{\\text{Cạnh huyền}} = \\frac{AB}{BC}\\)",
      "\\(\\tan \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh đối}}{\\text{Cạnh kề}} = \\frac{AC}{AB}\\)",
      "\\(\\cot \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh kề}}{\\text{Cạnh đối}} = \\frac{AB}{AC}\\)"
    ],

"figure": [
      {
        "type": "svg",
        "data": "<svg width='280' height='180' viewBox='0 0 280 180' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M60 140 L240 140 L60 40 Z' fill='#f0f7ff' stroke='#2563eb' stroke-width='2.5'/><rect x='60' y='130' width='10' height='10' fill='none' stroke='#2563eb' stroke-width='1.5'/><text x='45' y='155' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>A</text><text x='245' y='155' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>B (α)</text><text x='45' y='35' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>C</text><text x='150' y='160' font-size='13' fill='#475569' text-anchor='middle'>Cạnh kề</text><text x='35' y='95' font-size='13' fill='#475569' transform='rotate(-90 35,95)' text-anchor='middle'>Cạnh đối</text><text x='170' y='85' font-size='13' fill='#475569' transform='rotate(30,170,85)' text-anchor='middle'>Cạnh huyền</text></svg>",
        "caption": "Hình 1: Các cạnh của tam giác vuông đối với góc nhọn α"
      }
    ],

"table": [],

"example": {
      "content": "<b>Ví dụ 1:</b> Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\) có \\(AB = 3\\) cm, \\(AC = 4\\) cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc \\(B\\).<br><b>Lời giải:</b><br>1. Tính cạnh huyền: \\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \\implies BC = 5\\) cm.<br>2. Các tỉ số: \\(\\sin B = \\frac{4}{5} = 0,8\\); \\(\\cos B = \\frac{3}{5} = 0,6\\); \\(\\tan B = \\frac{4}{3}\\); \\(\\cot B = \\frac{3}{4} = 0,75\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },

{
    "title": "2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau",
    "content": [
      "Nếu hai góc nhọn \\(\\alpha\\) và \\(\\beta\\) phụ nhau (tổng bằng \\(90^{\\circ}\\)) thì:",
      "\\(\\sin \\alpha = \\cos \\beta\\) và \\(\\cos \\alpha = \\sin \\beta\\)",
      "\\(\\tan \\alpha = \\cot \\beta\\) và \\(\\cot \\alpha = \\tan \\beta\\)"
    ],
    "figure": [
      {
        "type": "svg",
        "data": "<svg width='280' height='160' viewBox='0 0 280 160' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M60 130 L220 130 L60 30 Z' fill='none' stroke='#22c55e' stroke-width='2'/><text x='180' y='125' font-weight='bold' fill='#15803d'>α</text><text x='65' y='55' font-weight='bold' fill='#15803d'>β</text><text x='140' y='155' font-size='12' fill='#666'>α + β = 90°</text></svg>",
        "caption": "Hình 2: Hai góc phụ nhau trong tam giác vuông"
      }
    ],

"table": [],

"example": {
      "content": "<b>Ví dụ 2:</b> Không dùng máy tính, hãy so sánh \\(\\tan 25^{\\circ}\\) và \\(\\cot 65^{\\circ}\\).<br><b>Lời giải:</b><br>Vì \\(25^{\\circ} + 65^{\\circ} = 90^{\\circ}\\) nên hai góc này phụ nhau. Theo tính chất, ta có: \\(\\tan 25^{\\circ} = \\cot 65^{\\circ}\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },

{
    "title": "3. Sử dụng máy tính cầm tay",
    "content": [
      "Dùng máy tính để tính tỉ số lượng giác khi biết góc: Nhập góc nhọn sau khi bấm các phím \\(\\sin, \\cos, \\tan\\).",
      "Dùng máy tính để tìm góc khi biết tỉ số: Sử dụng các phím ngược \\(\\sin^{-1}, \\cos^{-1}, \\tan^{-1}\\) (thường nhấn phím SHIFT trước)."
    ],

"example": {
      "content": "<b>Ví dụ 3:</b> Tìm góc nhọn \\(x\\) (làm tròn đến phút) biết \\(\\sin x = 0,3214\\).<br><b>Lời giải:</b><br>Sử dụng máy tính: Bấm SHIFT \\(\\sin\\) 0,3214 = . Ta được \\(x \\approx 18^{\\circ}45'\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
  "title": "4. Bảng tỉ số lượng giác các góc nhọn đặc biệt",
  "content": [],
  "figure": [
    {
      "type": "svg",
      "data": "<svg width='400' height='220' viewBox='0 0 400 220' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><rect x='10' y='10' width='380' height='200' fill='#ffffff' stroke='#d1d5db' stroke-width='1.5'/><rect x='10' y='10' width='380' height='40' fill='#f3f4f6'/><line x1='10' y1='50' x2='390' y2='50' stroke='#d1d5db' stroke-width='1.5'/><line x1='10' y1='90' x2='390' y2='90' stroke='#d1d5db'/><line x1='10' y1='130' x2='390' y2='130' stroke='#d1d5db'/><line x1='10' y1='170' x2='390' y2='170' stroke='#d1d5db'/><line x1='110' y1='10' x2='110' y2='210' stroke='#d1d5db' stroke-width='1.5'/><line x1='205' y1='10' x2='205' y2='210' stroke='#d1d5db'/><line x1='300' y1='10' x2='300' y2='210' stroke='#d1d5db'/><g font-family='Arial, sans-serif' font-size='14' text-anchor='middle' fill='#374151'><text x='60' y='35' font-weight='bold'>Tỉ số α</text><text x='157' y='35' font-weight='bold'>30°</text><text x='252' y='35' font-weight='bold'>45°</text><text x='345' y='35' font-weight='bold'>60°</text><text x='60' y='75' font-weight='bold'>sin α</text><text x='157' y='75'>1/2</text><text x='252' y='75'>√2 / 2</text><text x='345' y='75'>√3 / 2</text><text x='60' y='115' font-weight='bold'>cos α</text><text x='157' y='115'>√3 / 2</text><text x='252' y='115'>√2 / 2</text><text x='345' y='115'>1/2</text><text x='60' y='155' font-weight='bold'>tan α</text><text x='157' y='155'>√3 / 3</text><text x='252' y='155'>1</text><text x='345' y='155'>√3</text><text x='60' y='195' font-weight='bold'>cot α</text><text x='157' y='195'>√3</text><text x='252' y='195'>1</text><text x='345' y='195'>√3 / 3</text></g></svg>"
    }
  ],
  "table": [],
  "example": {
    "content": "<b>Ví dụ 4:</b> Tính giá trị biểu thức \\(A = \\sin 30^{\\circ} + \\cos 60^{\\circ}\\).<br><b>Lời giải:</b><br>Dựa vào bảng giá trị đặc biệt:<br>\\(A = \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} = 1\\).",
    "figure": [],
    "table": []
  }
}
],
"quickQuestions": [
  {
    "q": "Trong tam giác vuông, tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc nhọn \\(\\alpha\\) được gọi là:",
    "figure": [
      {
        "type": "svg",
        "data": "<svg width='200' height='140' viewBox='0 0 200 140' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M50 110 L170 110 L50 30 Z' fill='none' stroke='#2563eb' stroke-width='2'/><rect x='50' y='100' width='10' height='10' fill='none' stroke='#2563eb'/><text x='110' y='125' font-size='12' text-anchor='middle'>Cạnh kề</text><text x='80' y='65' font-size='12' transform='rotate(33 120,65)'>Cạnh huyền</text><text x='135' y='105' font-size='14' font-weight='bold' fill='#1e3a8a'>α</text></svg>",
        "caption": "Minh họa tỉ số lượng giác của góc α"
      }
    ],
    "table": [],
    "options": [
      "\\(\\sin \\alpha\\)",
      "\\(\\cos \\alpha\\)",
      "\\(\\tan \\alpha\\)",
      "\\(\\cot \\alpha\\)"
    ],
    "answer": "\\(\\cos \\alpha\\)",
    "explain": {
      "content": "Theo định nghĩa, cosin của một góc nhọn bằng cạnh kề chia cho cạnh huyền (Cos không hư).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "q": "Tỉ số lượng giác nào sau đây bằng với tỉ số \\(\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}\\)?",
    "figure": [],
    "table": [],
    "options": [
      "\\(\\tan \\alpha\\)",
      "\\(\\cot \\alpha\\)",
      "\\(\\sin^2 \\alpha\\)",
      "1"
    ],
    "answer": "\\(\\tan \\alpha\\)",
    "explain": {
      "content": "Ta có: \\(\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = \\frac{\\text{Đối}}{\\text{Huyền}} : \\frac{\\text{Kề}}{\\text{Huyền}} = \\frac{\\text{Đối}}{\\text{Kề}} = \\tan \\alpha\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "q": "Cho góc nhọn \\(\\alpha = 45^{\\circ}\\). Giá trị của \\(\\tan 45^{\\circ}\\) là:",
    "figure": [],
    "table": [],
    "options": [
      "\\(\\frac{1}{2}\\)",
      "\\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)",
      "1",
      "\\(\\sqrt{3}\\)"
    ],
    "answer": "1",
    "explain": {
      "content": "Trong tam giác vuông cân (có một góc \\(45^{\\circ}\\)), cạnh đối bằng cạnh kề nên tỉ số \\(\\tan\\) bằng 1.",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "q": "Nếu hai góc nhọn \\(\\alpha\\) và \\(\\beta\\) phụ nhau thì khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?",
    "figure": [],
    "table": [],
    "options": [
      "\\(\\sin \\alpha = \\sin \\beta\\)",
      "\\(\\tan \\alpha = \\tan \\beta\\)",
      "\\(\\sin \\alpha = \\cos \\beta\\)",
      "\\(\\cos \\alpha = \\cot \\beta\\)"
    ],
    "answer": "\\(\\sin \\alpha = \\cos \\beta\\)",
    "explain": {
      "content": "Khi hai góc phụ nhau (tổng bằng \\(90^{\\circ}\\)), sin góc này bằng cosin góc kia và tang góc này bằng cotang góc kia.",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "q": "Trong tam giác vuông, biết cạnh huyền bằng 10 cm và \\(\\sin \\alpha = 0,6\\). Độ dài cạnh đối của góc \\(\\alpha\\) là:",
    "figure": [],
    "table": [],
    "options": [
      "6 cm",
      "8 cm",
      "16 cm",
      "0,06 cm"
    ],
    "answer": "6 cm",
    "explain": {
      "content": "Từ công thức \\(\\sin \\alpha = \\frac{\\text{Cạnh đối}}{\\text{Cạnh huyền}}\\), suy ra Cạnh đối = \\(10 \\cdot 0,6 = 6\\) cm.",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "q": "Cho \\(\\cos \\alpha = 0,8\\). Giá trị của biểu thức \\(\\sin (90^{\\circ} - \\alpha)\\) bằng bao nhiêu?",
    "figure": [],
    "table": [],
    "options": [
      "0,2",
      "0,6",
      "0,8",
      "1"
    ],
    "answer": "0,8",
    "explain": {
      "content": "Vì \\(\\alpha\\) và \\(90^{\\circ} - \\alpha\\) là hai góc phụ nhau nên \\(\\sin(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos \\alpha = 0,8\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  }
],
"sgkExercises": [
  {
    "number": "Bài 4.1",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \\(B\\) và \\(C\\) khi biết:<br>a) \\(AB = 8, BC = 17\\);<br>b) \\(AC = 0,9, AB = 1,2\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Sử dụng định lý Pythagore để tìm cạnh còn lại của tam giác vuông, sau đó áp dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "a) Tính \\(AC = \\sqrt{BC^2 - AB^2} = \\sqrt{17^2 - 8^2} = 15\\).<br>Tỉ số lượng giác góc \\(B\\): \\(\\sin B = \\frac{15}{17}, \\cos B = \\frac{8}{17}, \\tan B = \\frac{15}{8}, \\cot B = \\frac{8}{15}\\).<br>Vì góc \\(C\\) phụ với góc \\(B\\) nên: \\(\\sin C = \\frac{8}{17}, \\cos C = \\frac{15}{17}, \\tan C = \\frac{8}{15}, \\cot C = \\frac{15}{8}\\).<br><br>b) Tính \\(BC = \\sqrt{AC^2 + AB^2} = \\sqrt{0,9^2 + 1,2^2} = 1,5\\).<br>Tỉ số lượng giác góc \\(B\\): \\(\\sin B = \\frac{0,9}{1,5} = 0,6; \\cos B = \\frac{1,2}{1,5} = 0,8; \\tan B = \\frac{0,9}{1,2} = 0,75; \\cot B = \\frac{1,2}{0,9} = \\frac{4}{3}\\).<br>Tỉ số lượng giác góc \\(C\\): \\(\\sin C = 0,8; \\cos C = 0,6; \\tan C = \\frac{4}{3}; \\cot C = 0,75\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.2",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "Cho tam giác vuông có một góc nhọn \\(60^{\\circ}\\) và cạnh kề với góc đó bằng 3 cm. Tính độ dài cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Sử dụng định nghĩa \\(\\cos\\) và \\(\\tan\\) của góc nhọn để tính các cạnh.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "",
      "figure": [
        {
          "type": "svg",
          "data": "<svg width='200' height='150' viewBox='0 0 200 150' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M50 120 L150 120 L50 60 Z' fill='none' stroke='#2563eb' stroke-width='2'/><rect x='50' y='110' width='10' height='10' fill='none' stroke='#2563eb'/><text x='15' y='95' font-size='12'>3 cm</text><text x='55' y='85' font-size='11'>60°</text><text x='50' y='55' font-size='12'>B</text><text x='45' y='135' font-size='12'>A</text><text x='150' y='135' font-size='12'>C</text></svg>",
       	  "caption": "Gọi tam giác vuông là \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\), \\(\\widehat{B} = 60^{\\circ}, AB = 3\\) cm.<br>1. Tính cạnh huyền \\(BC\\): \\(\\cos 60^{\\circ} = \\frac{AB}{BC} \\implies BC = \\frac{3}{\\cos 60^{\\circ}} = \\frac{3}{0,5} = 6\\) (cm).<br>2. Tính cạnh đối \\(AC\\): \\(\\tan 60^{\\circ} = \\frac{AC}{AB} \\implies AC = 3 \\cdot \\tan 60^{\\circ} = 3\\sqrt{3} \\approx 5,2\\) (cm)."
        }
      ],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.3",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng \\(30^{\\circ}\\) và cạnh đối diện với góc đó bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Sử dụng tỉ số lượng giác \\(\\sin\\) của góc nhọn.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "",
      "figure": [{
          "type": "svg",
          "data": "<svg width='200' height='150' viewBox='0 0 200 150' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><path d='M50 120 L150 120 L50 60 Z' fill='none' stroke='#2563eb' stroke-width='2'/><rect x='50' y='110' width='10' height='10' fill='none' stroke='#2563eb'/><text x='15' y='95' font-size='12'>5 cm</text><text x='110' y='115' font-size='11'>30°</text><text x='50' y='55' font-size='12'>C</text><text x='45' y='135' font-size='12'>A</text><text x='150' y='135' font-size='12'>B</text></svg>",
       	  "caption": "Gọi tam giác vuông là \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\), có \\(\\widehat{B} = 30^{\\circ}\\). Cạnh đối diện là \\(AC = 5\\) cm.<br>Ta có: \\(\\sin 30^{\\circ} = \\frac{AC}{BC} \\implies BC = \\frac{AC}{\\sin 30^{\\circ}} = \\frac{5}{1/2} = 10\\) cm."
        }],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.4",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và \\(\\sqrt{3}\\). Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật đó.",
      "figure": [
        {
          "type": "svg",
          "data": "<svg width='200' height='120' viewBox='0 0 200 120' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-05-svg'><rect x='30' y='20' width='140' height='80' fill='none' stroke='#333' stroke-width='2'/><line x1='30' y1='100' x2='170' y2='20' stroke='#ef4444' stroke-width='2'/><text x='100' y='115' font-size='12' text-anchor='middle'>3</text><text x='185' y='65' font-size='12'>√3</text><text x='150' y='45' font-size='12'>α</text></svg>",
          "caption": ""
        }
      ],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Gọi góc cần tìm là \\(\\alpha\\). Xét tam giác vuông tạo bởi đường chéo, cạnh dài và cạnh ngắn. Sử dụng tỉ số \\(\\tan\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "Gọi \\(\\alpha\\) là góc giữa đường chéo và cạnh ngắn (\\(\\sqrt{3}\\)). Khi đó cạnh dài (3) là cạnh đối của góc \\(\\alpha\\).<br>Ta có: \\(\\tan \\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\).<br>Dựa vào bảng giá trị đặc biệt, ta suy ra \\(\\alpha = 60^{\\circ}\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.5",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \\(45^{\\circ}\\): \\(\\sin 55^{\\circ}, \\cos 62^{\\circ}, \\tan 57^{\\circ}, \\cot 64^{\\circ}\\).<br>b) Tính tỉ số: \\(\\frac{\\tan 25^{\\circ}}{\\cot 65^{\\circ}}\\) và hiệu: \\(\\tan 34^{\\circ} - \\cot 56^{\\circ}\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Sử dụng tính chất của các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "a) Chuyển đổi:<br>\\(\\sin 55^{\\circ} = \\cos (90^{\\circ} - 55^{\\circ}) = \\cos 35^{\\circ}\\).<br>\\(\\cos 62^{\\circ} = \\sin (90^{\\circ} - 62^{\\circ}) = \\sin 28^{\\circ}\\).<br>\\(\\tan 57^{\\circ} = \\cot (90^{\\circ} - 57^{\\circ}) = \\cot 33^{\\circ}\\).<br>\\(\\cot 64^{\\circ} = \\sin (90^{\\circ} - 64^{\\circ}) = \\tan 26^{\\circ}\\).<br><br>b) Tính toán:<br>\\(\\frac{\\tan 25^{\\circ}}{\\cot 65^{\\circ}} = \\frac{\\tan 25^{\\circ}}{\\tan 25^{\\circ}} = 1\\).<br>\\(\\tan 34^{\\circ} - \\cot 56^{\\circ} = \\tan 34^{\\circ} - \\tan 34^{\\circ} = 0\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.6",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "Dùng máy tính cầm tay, tính các tỉ số lượng giác sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):<br>a) \\(\\sin 40^{\\circ}12'\\); b) \\(\\cos 52^{\\circ}54'\\); c) \\(\\tan 63^{\\circ}36'\\); d) \\(\\cot 35^{\\circ}20'\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Sử dụng các phím \\(\\sin, \\cos, \\tan\\) trên máy tính. Đối với \\(\\cot\\), hãy tính \\(1/\\tan\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "Kết quả làm tròn:<br>a) \\(\\sin 40^{\\circ}12' \\approx 0,645\\).<br>b) \\(\\cos 52^{\\circ}54' \\approx 0,603\\).<br>c) \\(\\tan 63^{\\circ}36' \\approx 2,014\\).<br>d) \\(\\cot 35^{\\circ}20' = 1/\\tan 35^{\\circ}20' \\approx 1,411\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.7",
    "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 73",
    "question": {
      "content": "Dùng máy tính cầm tay, tìm số đo của góc nhọn \\(x\\) (làm tròn đến phút), biết:<br>a) \\(\\sin x = 0,2368\\); b) \\(\\cos x = 0,6224\\); c) \\(\\tan x = 1,236\\); d) \\(\\cot x = 2,154\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": {
      "content": "Sử dụng phím SHIFT cùng với tỉ số lượng giác tương ứng trên máy tính.",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "solution": {
      "content": "Kết quả làm tròn:<br>a) \\(x \\approx 13^{\\circ}42'\\).<br>b) \\(x \\approx 51^{\\circ}30'\\).<br>c) \\(x \\approx 51^{\\circ}1'\\).<br>d) \\(x \\approx 24^{\\circ}54'\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  }
],
"sbtExercises": [
  {
    "number": "Bài 4.1",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45",
    "question": {
      "content": "a) Vẽ tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\) có \\(AB = 3\\) cm, \\(AC = 4\\) cm. Tính \\(BC, \\sin B, \\cos B\\).<br>b) Vẽ tam giác \\(MNP\\) vuông tại \\(M\\) có \\(MN = 6\\) cm, \\(MP = 8\\) cm. Hai tam giác \\(ABC\\) và \\(MNP\\) có đồng dạng không? Tính \\(\\sin N, \\cos N\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": { "content": "Sử dụng định lý Pythagore và tỉ số đồng dạng cạnh-góc-cạnh.", "figure": [], "table": [] },
    "solution": {
      "content": "a) \\(BC = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\) cm. \\(\\sin B = \\frac{AC}{BC} = \\frac{4}{5} = 0,8\\); \\(\\cos B = \\frac{AB}{BC} = \\frac{3}{5} = 0,6\\).<br>b) Ta có \\(\\frac{MN}{AB} = \\frac{MP}{AC} = 2\\) nên \\(\\triangle MNP \\sim \\triangle ABC\\). Do đó \\(\\sin N = \\sin B = 0,8\\); \\(\\cos N = \\cos B = 0,6\\).",
      "figure": [{
          "type": "svg",
          "data": "<svg width='360' height='160' viewBox='0 0 360 160' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-11-svg'><path d='M40 130 L100 130 L40 50 Z' fill='none' stroke='#2563eb' stroke-width='1'/><text x='35' y='145' font-size='12'>A</text><text x='105' y='145' font-size='12'>B</text><text x='35' y='45' font-size='12'>C</text><path d='M180 130 L260 130 L180 25 Z' fill='none' stroke='#dc2626' stroke-width='1'/><text x='175' y='145' font-size='12'>M</text><text x='265' y='145' font-size='12'>N</text><text x='175' y='15' font-size='12'>P</text></svg>",
          "caption": ""
        }
      ], 
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.2",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45",
    "question": {
      "content": "a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn \\(\\alpha < 45^{\\circ}\\), ta có: \\(\\sin(45^{\\circ} - \\alpha) = \\cos(45^{\\circ} + \\alpha)\\).<br>b) Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: \\(\\sin 25^{\\circ} + \\sin 35^{\\circ} + \\sin 45^{\\circ} - \\cos 45^{\\circ} - \\cos 55^{\\circ} - \\cos 65^{\\circ}\\).",
      "figure": [],
      "table": []
    },
    "hint": { "content": "Sử dụng tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.", "figure": [], "table": [] },
    "solution": {
      "content": "a) Vì \\((45^{\\circ} - \\alpha) + (45^{\\circ} + \\alpha) = 90^{\\circ}\\) nên đây là hai góc phụ nhau.<br>Do đó:<br>\\(\\sin(45^{\\circ} - \\alpha) = \\cos(45^{\\circ} + \\alpha)\\).<br>b) Ta có: \\(\\sin 25^{\\circ} = \\cos 65^{\\circ}\\); \\(\\sin 35^{\\circ} = \\cos 55^{\\circ}\\); \\(\\sin 45^{\\circ} = \\cos 45^{\\circ}\\).<br>Thay vào biểu thức, ta được: <br>\\(\\cos 65^{\\circ} + \\cos 55^{\\circ} + \\sin 45^{\\circ} - \\cos 45^{\\circ} - \\cos 55^{\\circ} - \\cos 65^{\\circ} = 0\\)",
      "figure": [],
      "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.3",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45",
    "question": { "content": "Sử dụng MTCT. Tính \\(\\sin \\alpha \\) khi góc \\(\\alpha \\) lần lượt bằng \\(10^{\\circ}, 20^{\\circ}, 30^{\\circ}, 40^{\\circ}\\) (làm tròn đến hàng phần nghìn).",
    	"figure": [],
    	"table": []
    },
    "hint": { "content": "Sử dụng máy tính cầm tay.",
    "figure": [],
    "table": []
    },
    "solution": { "content": "\\(\\sin 10^{\\circ} \\approx 0,174; \\sin 20^{\\circ} \\approx 0,342; \\sin 30^{\\circ} = 0,5; \\sin 40^{\\circ} \\approx 0,643\\).",
    "figure": [],
    "table": [] }
  },
  {
    "number": "Bài 4.4",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45",
    "question": { "content": "Tìm góc nhọn \\(x\\) biết \\(\\sin x = \\frac{1}{4}\\).",
    "figure": [],
    "table": []
    },
    "hint": { "content": "Sử dụng phím SHIFT + SIN trên máy tính.",
    "figure": [],
    "table": [] 
    },
    "solution": { "content": "\\(x \\approx 14^{\\circ}\\).",
    "figure": [],
    "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.5",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45",
    "question": { "content": "Không dùng MTCT. Tính giá trị biểu thức: \\(\\sin^2 25^{\\circ} + \\sin^2 35^{\\circ} + \\sin^2 45^{\\circ} + \\sin^2 55^{\\circ} + \\sin^2 65^{\\circ}\\).",
    "figure": [],
    "table": [] },
    "hint": { "content": "Sử dụng \\(\\sin \\alpha = \\cos(90^{\\circ} - \\alpha)\\) và \\(\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1\\).",
    "figure": [],
    "table": [] },
    "solution": { "content": "Biểu thức bằng: \\((\\sin^2 25^{\\circ} + \\cos^2 25^{\\circ}) + (\\sin^2 35^{\\circ} + \\cos^2 35^{\\circ}) + \\sin^2 45^{\\circ} = 1 + 1 + 0,5 = 2,5\\).",
    "figure": [],
    "table": [] }
  },
  {
    "number": "Bài 4.6",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1",
    "question": { "content": "Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5 cm, 12 cm. Hỏi sin của góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?",
    "figure": [],
    "table": [] },
    "hint": { "content": "Góc nhọn nhỏ nhất là góc đối diện với cạnh góc vuông nhỏ hơn.",
    "figure": [],
    "table": [] },
    "solution": {
    "content": "Cạnh huyền của tam giác là \\(\\sqrt{5^2 + 12^2} = 13\\) cm.<br>Góc nhỏ nhất ∝ đối diện cạnh 5 cm. Sin∝ = \\(\\frac{5}{3} \\approx 0,385\\).",
    "figure": [],
    "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.7",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45, 101",
    "question": {
      "content": "Xét tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(B, \\widehat{A} = 30^{\\circ}\\). Tia \\(Bt\\) sao cho \\(\\widehat{CBt} = 30^{\\circ}\\) cắt \\(AC\\) tại \\(D\\). Chứng minh khoảng cách từ \\(D\\) đến \\(BC\\) bằng \\(\\frac{AB}{4}\\).",
      "figure": [
        {
          "type": "svg",
          "data": "<svg width='200' height='150' viewBox='0 0 200 150' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-11-svg'><path d='M40 130 L160 130 L160 60 Z' fill='none' stroke='#333'/><line x1='160' y1='130' x2='110' y2='60' stroke='#ef4444'/><line x1='125' y1='80' x2='160' y2='80' stroke='#2563eb'/><text x='165' y='140' font-size='10'>B</text><text x='30' y='140' font-size='10'>A</text><text x='165' y='55' font-size='10'>C</text><text x='115' y='80' font-size='10'>D</text><text x='145' y='78' font-size='10'>h</text><text x='110' y='55' font-size='10'>t</text><text x='60' y='128' font-size='8'>30°</text><text x='147' y='110' font-size='8'>30°</text></svg>",
          "caption": ""
        }
      ],
      "table": []
    },
    "hint": { "content": "Sử dụng tính chất cạnh đối diện góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền.", "figure": [], "table": [] },
    "solution": {
      "content": "1. \\(\\widehat{ABD} = 90^{\\circ} - 30^{\\circ} = 60^{\\circ}\\). Suy ra \\(\\widehat{ADB} = 180^{\\circ} - (30^{\\circ} + 60^{\\circ}) = 90^{\\circ}\\).<br>2. Trong \\(\\triangle ABD\\): \\(BD = AB \\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\frac{AB}{2}\\).<br>3. Khoảng cách \\(h = BD \\cdot \\sin 30^{\\circ} = \\frac{AB}{2}. \\frac{1}{2} = \\frac{AB}{4}\\).",
      "figure": [],
    "table": []
    }
  },
  {
    "number": "Bài 4.9",
    "source": "SBT Toán 9 tập 1, trang 45",
    "question": {
      "content": "Một cái thang dài 3,2 m đặt dựa tường, đầu thang đạt độ cao 3 m. Tính góc của thang tạo với mặt đất (làm tròn đến độ).",
      "figure": [
        {
          "type": "svg",
          "data": "<svg width='180' height='150' viewBox='0 0 180 150' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' class='bai9-11-svg'><line x1='40' y1='130' x2='140' y2='130' stroke='#333'/><line x1='140' y1='130' x2='140' y2='30' stroke='#333'/><line x1='40' y1='130' x2='140' y2='30' stroke='#b91c1c' stroke-width='3'/><text x='80' y='75' transform='rotate(-45 80,75)'>3,2m</text><text x='145' y='80'>3m</text><text x='65' y='125'>α</text></svg>",
          "caption": ""
        }
      ],
      "table": []
    },
    "hint": { "content": "Sử dụng tỉ số lượng giác sin.", "figure": [], "table": [] },
    "solution": {
      "content": "Gọi \\(\\alpha\\) là góc cần tìm. Ta có: \\(\\sin \\alpha = \\frac{3}{3,2} = 0,9375\\).<br>Sử dụng máy tính: \\(\\alpha \\approx 70^{\\circ}\\).",
      "figure": [], "table": []
    }
  }
],
"finalTest": {
  "mcq": [
    {
      "q": {
        "content": "Với góc nhọn \\(\\alpha\\) tùy ý, khẳng định nào sau đây là một hệ thức cơ bản ĐÚNG?",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "options": [
        "\\(\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 0\\)",
        "\\(\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1\\)",
        "\\(\\sin \\alpha + \\cos \\alpha = 1\\)",
        "\\(\\tan \\alpha \\cdot \\cot \\alpha = 0\\)"
      ],
      "answer": 1
    },
    {
      "q": {
        "content": "Giá trị của tỉ số lượng giác \\(\\tan 60^{\\circ}\\) bằng:",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "options": [
        "\\(\\frac{1}{2}\\)",
        "\\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)",
        "\\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\)",
        "\\(\\sqrt{3}\\)"
      ],
      "answer": 3
    },
    {
      "q": {
        "content": "Khi góc nhọn \\(\\alpha\\) tăng từ \\(0^{\\circ}\\) đến \\(90^{\\circ}\\), khẳng định nào sau đây ĐÚNG?",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "options": [
        "\\(\\sin \\alpha\\) giảm",
        "\\(\\cos \\alpha\\) tăng",
        "\\(\\tan \\alpha\\) tăng",
        "\\(\\cot \\alpha\\) tăng"
      ],
      "answer": 2
    },
    {
      "q": {
        "content": "Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\) có \\(AC = 12\\) cm, \\(BC = 13\\) cm. Tỉ số \\(\\sin B\\) bằng:",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "options": [
        "\\(\\frac{12}{13}\\)",
        "\\(\\frac{5}{13}\\)",
        "\\(\\frac{5}{12}\\)",
        "\\(\\frac{13}{12}\\)"
      ],
      "answer": 0
    },
    {
      "q": {
        "content": "Công thức nào sau đây thể hiện mối liên hệ giữa \\(\\tan\\) và \\(\\cot\\) của cùng một góc nhọn \\(\\alpha\\)?",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "options": [
        "\\(\\tan \\alpha + \\cot \\alpha = 1\\)",
        "\\(\\tan \\alpha = \\frac{1}{\\cot \\alpha}\\)",
        "\\(\\tan \\alpha = \\cot (180^{\\circ} - \\alpha)\\)",
        "\\(\\tan \\alpha \\cdot \\cos \\alpha = 1\\)"
      ],
      "answer": 1
    },
    {
      "q": {
        "content": "Cho \\(\\cos \\alpha = 0,8\\). Tính giá trị của \\(\\sin (90^{\\circ} - \\alpha)\\)?",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "options": [
        "0,2",
        "0,6",
        "0,8",
        "1"
      ],
      "answer": 2
    }
  ],
  "tf": [
    {
      "q": {
        "content": "Xét các tính chất của tỉ số lượng giác góc nhọn \\(\\alpha\\), các khẳng định sau ĐÚNG hay SAI?",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "items": [
        {
          "t": { "content": "Giá trị \\(\\sin \\alpha\\) và \\(\\cos \\alpha\\) luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.", "figure": [], "table": [] },
          "ans": true
        },
        {
          "t": { "content": "Nếu hai góc phụ nhau thì tang góc này bằng cotang góc kia.", "figure": [], "table": [] },
          "ans": true
        },
        {
          "t": { "content": "Biểu thức \\(\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}\\) luôn bằng \\(\\cot \\alpha\\).", "figure": [], "table": [] },
          "ans": false
        },
        {
          "t": { "content": "Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc \\(30^{\\circ}\\) bằng nửa cạnh huyền.", "figure": [], "table": [] },
          "ans": true
        }
      ]
    },
    {
      "q": {
        "content": "Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\) có \\(\\widehat{C} = 45^{\\circ}\\). Xác định tính đúng/sai của các hệ thức sau:",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "items": [
        {
          "t": { "content": "Tam giác \\(ABC\\) là tam giác vuông cân tại \\(A\\).", "figure": [], "table": [] },
          "ans": true
        },
        {
          "t": { "content": "\\(\\tan C = 1\\).", "figure": [], "table": [] },
          "ans": true
        },
        {
          "t": { "content": "\\(\\sin C = \\frac{1}{2}\\).", "figure": [], "table": [] },
          "ans": false
        },
        {
          "t": { "content": "\\(AB = AC\\).", "figure": [], "table": [] },
          "ans": true
        }
      ]
    }
  ],
  "short": [
    {
      "q": {
        "content": "Tính giá trị của biểu thức: \\(A = \\sin 30^{\\circ} + \\cos 60^{\\circ} - \\tan 45^{\\circ}\\).",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "answer": "0"
    },
    {
      "q": {
        "content": "Cho tam giác \\(ABC\\) vuông tại \\(A\\) có cạnh huyền \\(BC = 10\\) cm và \\(\\sin B = 0,6\\). Tính độ dài cạnh đối \\(AC\\) (cm).",
        "figure": [],
        "table": []
      },
      "answer": "6"
    }
  ]
},
"faq": [
  {
    "q": "Tại sao giá trị \\(\\sin\\) và \\(\\cos\\) của một góc nhọn luôn nhỏ hơn 1?",
    "a": "Trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất. Vì \\(\\sin\\) và \\(\\cos\\) là tỉ số giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền, nên tử số luôn nhỏ hơn mẫu số, dẫn đến giá trị của chúng luôn lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1."
  },
  {
    "q": "Làm thế nào để tính \\(\\cot\\) trên máy tính cầm tay khi máy không có phím này?",
    "a": "Em có thể tính thông qua phím \\(\\tan\\) bằng công thức nghịch đảo: \\(\\cot \\alpha = \\frac{1}{\\tan \\alpha}\\). Ví dụ, để tính \\(\\cot 35^{\\circ}\\), em bấm: 1 ÷ \\(\\tan\\) 35 = ."
  },
  {
    "q": "Mẹo nào để phân biệt và ghi nhớ nhanh 4 tỉ số lượng giác?",
    "a": "Em có thể sử dụng câu vè phổ biến: 'Sin đi học (Đối/Huyền), Cos không hư (Kề/Huyền), Tan đoàn kết (Đối/Kề), Cot kết đoàn (Kề/Đối)'."
  },
  {
    "q": "Khi số đo góc nhọn \\(\\alpha\\) tăng dần thì các tỉ số lượng giác thay đổi thế nào?",
    "a": "Khi góc \\(\\alpha\\) tăng từ \\(0^{\\circ}\\) đến \\(90^{\\circ}\\) thì \\(\\sin \\alpha\\) và \\(\\tan \\alpha\\) sẽ tăng lên, trong khi đó \\(\\cos \\alpha\\) và \\(\\cot \\alpha\\) sẽ giảm đi."
  },
  {
    "q": "Tại sao \\(\\sin 30^{\\circ}\\) lại luôn bằng \\(\\cos 60^{\\circ}\\)?",
    "a": "Vì \\(30^{\\circ}\\) và \\(60^{\\circ}\\) là hai góc phụ nhau (tổng bằng \\(90^{\\circ}\\)). Theo tính chất lượng giác, sin của góc này sẽ bằng cosin của góc kia và ngược lại."
  }
],
"seo": {
  "title": "Toán 9 - Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Kết nối tri thức | Math Tricks",
  "labels": "Bài 11 Toán 9,Bài tập Toán 9,Chương IV Toán 9,Math tricks,sin cos tan cot,Tỉ số lượng giác của góc nhọn,Toán 9,Toán 9 Kết nối tri thức,",
  "description": "Math Tricks: Toán 9 Chương IV Bài 11 - Lý thuyết về các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của góc nhọn, bảng giá trị các góc đặc biệt, tính chất góc",
  "link": "toan-9-bai-5-bat-dang-thuc-va-tinh-chat"
}
}

Tác giả nội dung

Math Tricks

Bài học được biên soạn theo hướng dễ hiểu, trực quan và truyền cảm hứng học Toán. Vui lòng ghi nguồn Math Tricks khi chia sẻ hoặc sử dụng lại nội dung.

📘 Toán THCS 🎮 Học tương tác 🧠 Mẹo học nhanh ✅ Có lời giải

🏠 Trang chủ 📚 Toán 6 📚 Toán 7 📚 Toán 8 📚 Toán 9

📚 Bài mới cập nhật

Đang tải bài viết...

Math Tricks

Toán 9 - Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Lý thuyết và bài tập - Lý thuyết và bài tập - Kết nối tri thức

Math Tricks

📚 Bài mới cập nhật

Tìm kiếm bài học

Ngôn Ngữ

Liên hệ/Góp ý

Số lượt truy cập gần đây

Từ khóa bài học