Toán 9 - Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Kết nối tri thức | Math Tricks

{
 "meta": {
 "prefix": "bai9-09",
 "grade": "Toán 9",
 "lessonNumber": "Bài 9",
 "title": "Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai",
 "book": "Kết nối tri thức với cuộc sống",
 "chapter": "Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba",
 "description": "Bài học cung cấp các phép biến đổi căn thức cơ bản như đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn, trục căn thức ở mẫu và phương pháp rút gọn biểu thức đại số chứa căn thức bậc hai."
 },
 "intro": "Trong bài học này, chúng ta sẽ được trang bị các công cụ quan trọng để 'đơn giản hóa' những biểu thức chứa căn thức phức tạp. Việc thành thạo các kỹ năng đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn, cũng như xử lý mẫu thức thông qua việc trục căn thức, sẽ giúp các em giải quyết các bài toán tính toán và chứng minh một cách nhanh chóng và chính xác hơn.",
 "sources": [
 "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 54-59.",
 "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 34-37.",
 "SGV Toán 9 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 78-83."
 ],
 "objectives": [
 "Vận dụng được các quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn và đưa thừa số vào trong dấu căn.",
 "Thực hiện được các phép biến đổi khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu trong một số trường hợp đơn giản.",
 "Biết cách kết hợp các phép tính và phép biến đổi để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai.",
 "Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn liền với các phép biến đổi căn thức."
 ],
"seo": {
 "title": "Toán 9 - Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Kết nối tri thức | Math Tricks",
 "labels": "Bài 9 Toán 9, Bài tập Toán 9, Chương III Toán 9, Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn, Rút gọn biểu thức chứa căn, Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, Trục căn thức ở mẫu, Toán 9, Toán 9 Kết nối tri thức, Math Tricks",
 "description": "Math Tricks: Toán 9 Chương III Bài 9 - Hướng dẫn chi tiết các phép biến đổi căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn biểu thức đại số, ví dụ minh họa và giải bài tập SGK/SBT.",
 "link": "toan-9-bai-9-bien-doi-don-gian-va-rut-gon-bieu-thuc-chua-can-thuc-bac-hai"
},
"knowledge": [
 {
 "title": "1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn",
 "content": [
 "Với hai biểu thức \\(A, B\\) mà \\(B \\geq 0\\), ta có hằng đẳng thức: \\(\\sqrt{A^2 \\cdot B} = |A|\\sqrt{B}\\).",
 "● Nếu \\(A \\geq 0\\) và \\(B \\geq 0\\) thì \\(\\sqrt{A^2 \\cdot B} = A\\sqrt{B}\\).",
 "● Nếu \\(A < 0\\) và \\(B \\geq 0\\) thì \\(\\sqrt{A^2 \\cdot B} = -A\\sqrt{B}\\).",
 "Phép biến đổi này cũng được dùng để khử mẫu của biểu thức lấy căn: \\(\\sqrt{\\frac{A}{B}} = \\frac{\\sqrt{AB}}{|B|}\\) (với \\(AB \\geq 0, B \\neq 0\\))."
 ],
 "figure": [], "table": [],
 "example": {
 "content": "Ví dụ 1: Viết thừa số dưới dấu căn thành tích các lũy thừa rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) \\(\\sqrt{45}\\); b) \\(\\sqrt{243a}\\) (với \\(a \\geq 0\\)). Lời giải: a) \\(\\sqrt{45}\\)\\(= \\sqrt{3^2 \\cdot 5}\\)\\(= 3\\sqrt{5}\\). b) \\(\\sqrt{243a}\\)\\(= \\sqrt{9^2 \\cdot 3a}\\)\\(= 9\\sqrt{3a}\\). Luyện tập 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) \\(\\sqrt{12}\\); b) \\(3\\sqrt{27}\\); c) \\(5\\sqrt{48}\\). Lời giải: a) \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\). b) \\(3\\sqrt{27} = 3\\sqrt{9 \\cdot 3} = 3 \\cdot 3\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}\\). c) \\(5\\sqrt{48} = 5\\sqrt{16 \\cdot 3} = 5 \\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\). Ví dụ 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn \\(\\sqrt{\\frac{4}{7}}\\). Lời giải: \\(\\sqrt{\\frac{4}{7}}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{4 \\cdot 7}}{\\sqrt{7^2}}\\)\\(= \\frac{2\\sqrt{7}}{7}\\). Luyện tập 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn \\(\\sqrt{\\frac{3}{5}}\\). Lời giải: \\(\\sqrt{\\frac{3}{5}}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{3 \\cdot 5}}{\\sqrt{5^2}}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{15}}{5}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "title": "2. Đưa thừa số vào trong dấu căn",
 "content": [
 "Để đưa thừa số vào trong dấu căn, ta sử dụng quy tắc sau:",
 "● Nếu \\(A \\geq 0\\) và \\(B \\geq 0\\) thì \\(A\\sqrt{B} = \\sqrt{A^2B}\\).",
 "● Nếu \\(A < 0\\) và \\(B \\geq 0\\) thì \\(A\\sqrt{B} = -\\sqrt{A^2B}\\)."
 ],
 "figure": [], "table": [],
 "example": {
 "content": "Ví dụ 3: Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) \\(5\\sqrt{2}\\); b) \\(-2\\sqrt{a}\\) (với \\(a \\geq 0\\)). Lời giải: a) \\(5\\sqrt{2}\\)\\(= \\sqrt{5^2 \\cdot 2}\\)\\(= \\sqrt{50}\\). b) \\(-2\\sqrt{a}\\)\\(= -\\sqrt{(-2)^2 \\cdot a}\\)\\(= -\\sqrt{4a}\\). Luyện tập 3: Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) \\(3\\sqrt{5}\\); b) \\(-2\\sqrt{7}\\). Lời giải: a) \\(3\\sqrt{5} = \\sqrt{3^2 \\cdot 5} = \\sqrt{45}\\). b) \\(-2\\sqrt{7} = -\\sqrt{(-2)^2 \\cdot 7} = -\\sqrt{28}\\). Ví dụ 4: So sánh \\(3\\sqrt{2}\\) và \\(2\\sqrt{3}\\) mà không dùng máy tính. Lời giải: Ta có: \\(3\\sqrt{2} = \\sqrt{3^2 \\cdot 2} = \\sqrt{18}\\). \\(2\\sqrt{3} = \\sqrt{2^2 \\cdot 3} = \\sqrt{12}\\). Vì \\(18 > 12\\) nên \\(\\sqrt{18} > \\sqrt{12}\\). Vậy \\(3\\sqrt{2} > 2\\sqrt{3}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "title": "3. Trục căn thức ở mẫu",
 "content": [
 "Trục căn thức ở mẫu là phép biến đổi để làm mất căn thức ở mẫu số của một biểu thức. Các công thức cơ bản:",
 "● \\(\\frac{A}{\\sqrt{B}} = \\frac{A\\sqrt{B}}{B}\\) (với \\(B > 0\\)).",
 "● \\(\\frac{C}{\\sqrt{A} \\pm B} = \\frac{C(\\sqrt{A} \\mp B)}{A - B^2}\\) (với các biểu thức có nghĩa).",
 "● \\(\\frac{C}{\\sqrt{A} \\pm \\sqrt{B}} = \\frac{C(\\sqrt{A} \\mp \\sqrt{B})}{A - B}\\) (với các biểu thức có nghĩa)."
 ],
 "figure": [], "table": [],
 "example": {
 "content": "Ví dụ 5: Trục căn thức ở mẫu: a) \\(\\frac{2}{3\\sqrt{5}}\\); b) \\(\\frac{a}{3 - 2\\sqrt{2}}\\). Lời giải chi tiết: a) \\(\\frac{2}{3\\sqrt{5}}\\)\\(= \\frac{2\\sqrt{5}}{3(\\sqrt{5})^2}\\)\\(= \\frac{2\\sqrt{5}}{3 \\cdot 5}\\)\\(= \\frac{2\\sqrt{5}}{15}\\). b) \\(\\frac{a}{3 - 2\\sqrt{2}}\\)\\(= \\frac{a(3 + 2\\sqrt{2})}{(3 - 2\\sqrt{2})(3 + 2\\sqrt{2})}\\)\\(= \\frac{a(3 + 2\\sqrt{2})}{3^2 - (2\\sqrt{2})^2}\\)\\(= \\frac{a(3 + 2\\sqrt{2})}{9 - 8}\\)\\(= a(3 + 2\\sqrt{2})\\). Luyện tập 4: Trục căn thức ở mẫu: a) \\(\\frac{-5\\sqrt{x^2+1}}{2\\sqrt{3}}\\); b) \\(\\frac{a^2 - 2a}{\\sqrt{a} + \\sqrt{2}}\\) (với \\(a \\geq 0, a \\neq 2\\)). Lời giải: a) \\(\\frac{-5\\sqrt{x^2+1}}{2\\sqrt{3}}\\)\\(= \\frac{-5\\sqrt{x^2+1} \\cdot \\sqrt{3}}{2 \\cdot 3}\\)\\(= \\frac{-5\\sqrt{3x^2+3}}{6}\\). b) \\(\\frac{a^2 - 2a}{\\sqrt{a} + \\sqrt{2}}\\)\\(= \\frac{a(a - 2)(\\sqrt{a} - \\sqrt{2})}{(\\sqrt{a} + \\sqrt{2})(\\sqrt{a} - \\sqrt{2})}\\)\\(= \\frac{a(a - 2)(\\sqrt{a} - \\sqrt{2})}{a - 2}\\)\\(= a(\\sqrt{a} - \\sqrt{2})\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "title": "4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai",
 "content": [
 "Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta cần linh hoạt phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học như đưa thừa số ra ngoài/vào trong dấu căn, khử mẫu, trục căn thức ở mẫu."
 ],
 "figure": [], "table": [],
 "example": {
 "content": "Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức \\(A = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{75} + \\sqrt{(1 - \\sqrt{3})^2}\\). Lời giải chi tiết: \\(A = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{5^2 \\cdot 3} + |1 - \\sqrt{3}|\\) \\(= 2\\sqrt{3} - 5\\sqrt{3} + \\sqrt{3} - 1\\) (vì \\(1 < \\sqrt{3}\\)) \\(= (2 - 5 + 1)\\sqrt{3} - 1\\) \\(= -2\\sqrt{3} - 1\\). Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức \\(P = \\frac{x^2 - 1}{\\sqrt{x} - 1} + \\frac{x^2 - x}{\\sqrt{x} + 1}\\) (với \\(x \\geq 0, x \\neq 1\\)). Lời giải chi tiết: \\(P = \\frac{(x - 1)(x + 1)}{\\sqrt{x} - 1} + \\frac{x(x - 1)}{\\sqrt{x} + 1}\\) \\(= \\frac{(\\sqrt{x} - 1)(\\sqrt{x} + 1)(x + 1)}{\\sqrt{x} - 1} + \\frac{x(\\sqrt{x} - 1)(\\sqrt{x} + 1)}{\\sqrt{x} + 1}\\) \\(= (\\sqrt{x} + 1)(x + 1) + x(\\sqrt{x} - 1)\\) \\(= x\\sqrt{x} + \\sqrt{x} + x + 1 + x\\sqrt{x} - x\\) \\(= 2x\\sqrt{x} + \\sqrt{x} + 1\\). Luyện tập 5: Rút gọn biểu thức: \\(\\left( \\frac{\\sqrt{22} - \\sqrt{11}}{1 - \\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{21} - \\sqrt{7}}{1 - \\sqrt{3}} \\right) (\\sqrt{7} - \\sqrt{11})\\). Lời giải: \\(\\frac{\\sqrt{22} - \\sqrt{11}}{1 - \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{11}(\\sqrt{2} - 1)}{-(\\sqrt{2} - 1)} = -\\sqrt{11}\\). \\(\\frac{\\sqrt{21} - \\sqrt{7}}{1 - \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{7}(\\sqrt{3} - 1)}{-(\\sqrt{3} - 1)} = -\\sqrt{7}\\). Biểu thức trở thành: \\((-\\sqrt{11} - \\sqrt{7})(\\sqrt{7} - \\sqrt{11})\\) \\(= -(\\sqrt{7} + \\sqrt{11})(\\sqrt{7} - \\sqrt{11})\\) \\(= -[ (\\sqrt{7})^2 - (\\sqrt{11})^2 ]\\) \\(= -(7 - 11)\\) \\(= 4\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 }
],
"sgkExercises": [
 {
 "number": "Bài 3.17",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 59",
 "question": {
 "content": "Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) \\(\\sqrt{52}\\); b) \\(\\sqrt{27a}\\) (với \\(a \\ge 0\\)); c) \\(\\sqrt{50\\sqrt{2} + 100}\\); d) \\(\\sqrt{9\\sqrt{5} - 18}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích có thừa số là số chính phương.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "a) \\(\\sqrt{52}\\)\\(= \\sqrt{2^2 \\cdot 13}\\)\\(= 2\\sqrt{13}\\). b) \\(\\sqrt{27a}\\)\\(= \\sqrt{3^2 \\cdot 3a}\\)\\(= 3\\sqrt{3a}\\). c) \\(\\sqrt{50\\sqrt{2} + 100}\\)\\(= \\sqrt{25(2\\sqrt{2} + 4)}\\)\\(= 5\\sqrt{2\\sqrt{2} + 4}\\). d) \\(\\sqrt{9\\sqrt{5} - 18}\\)\\(= \\sqrt{3^2(\\sqrt{5} - 2)}\\)\\(= 3\\sqrt{\\sqrt{5} - 2}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.18",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 59",
 "question": {
 "content": "Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) \\(4\\sqrt{3}\\); b) \\(-2\\sqrt{7}\\); c) \\(4\\sqrt{\\frac{15}{2}}\\); d) \\(-5\\sqrt{\\frac{16}{5}}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Sử dụng quy tắc: \\(A\\sqrt{B} = \\sqrt{A^2B}\\) nếu \\(A \\ge 0\\) và \\(A\\sqrt{B} = -\\sqrt{A^2B}\\) nếu \\(A < 0\\).", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "a) \\(4\\sqrt{3}\\)\\(= \\sqrt{4^2 \\cdot 3}\\)\\(= \\sqrt{16 \\cdot 3}\\)\\(= \\sqrt{48}\\). b) \\(-2\\sqrt{7}\\)\\(= -\\sqrt{2^2 \\cdot 7}\\)\\(= -\\sqrt{4 \\cdot 7}\\)\\(= -\\sqrt{28}\\). c) \\(4\\sqrt{\\frac{15}{2}}\\)\\(= \\sqrt{4^2 \\cdot \\frac{15}{2}}\\)\\(= \\sqrt{16 \\cdot \\frac{15}{2}}\\)\\(= \\sqrt{120}\\). d) \\(-5\\sqrt{\\frac{16}{5}}\\)\\(= -\\sqrt{5^2 \\cdot \\frac{16}{5}}\\)\\(= -\\sqrt{25 \\cdot \\frac{16}{5}}\\)\\(= -\\sqrt{80}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.19",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 59",
 "question": {
 "content": "Khử mẫu trong dấu căn: a) \\(2a\\sqrt{\\frac{3}{5}}\\); b) \\(-3x\\sqrt{\\frac{5}{x}}\\) (với \\(x > 0\\)); c) \\(-\\sqrt{\\frac{3a}{b^2}}\\) (với \\(a \\ge 0, b \\neq 0\\)).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Nhân cả tử và mẫu với giá trị thích hợp để mẫu là một bình phương.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "a) \\(2a\\sqrt{\\frac{3}{5}}\\)\\(= 2a \\frac{\\sqrt{3 \\cdot 5}}{\\sqrt{5^2}}\\)\\(= \\frac{2a\\sqrt{15}}{5}\\). b) \\(-3x\\sqrt{\\frac{5}{x}}\\)\\(= -3x \\frac{\\sqrt{5x}}{\\sqrt{x^2}}\\)\\(= \\frac{-3x\\sqrt{5x}}{|x|}\\)(Vì \\(x > 0\\) nên \\(|x| = x\\)) \\(= \\frac{-3x\\sqrt{5x}}{x}\\)\\(= -3\\sqrt{5x}\\). c) \\(-\\sqrt{\\frac{3a}{b^2}}\\)\\(= -\\frac{\\sqrt{3a}}{\\sqrt{b^2}}\\)\\(= -\\frac{\\sqrt{3a}}{|b|}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.20",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 59",
 "question": {
 "content": "Trục căn thức ở mẫu: a) \\(\\frac{4 + 3\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}}\\); b) \\(\\frac{1}{\\sqrt{5} - 2}\\); c) \\(\\frac{3 + \\sqrt{3}}{1 - \\sqrt{3}}\\); d) \\(\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Sử dụng biểu thức liên hợp để làm mất căn thức ở mẫu.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "a) \\(\\frac{4 + 3\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}}\\)\\(= \\frac{(4 + 3\\sqrt{5})\\sqrt{5}}{5}\\)\\(= \\frac{4\\sqrt{5} + 3(\\sqrt{5})^2}{5}\\)\\(= \\frac{4\\sqrt{5} + 15}{5}\\). b) \\(\\frac{1}{\\sqrt{5} - 2}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{5} + 2}{(\\sqrt{5} - 2)(\\sqrt{5} + 2)}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{5} + 2}{(\\sqrt{5})^2 - 2^2}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{5} + 2}{5 - 4}\\)\\(= \\sqrt{5} + 2\\). c) \\(\\frac{3 + \\sqrt{3}}{1 - \\sqrt{3}}\\)\\(= \\frac{(3 + \\sqrt{3})(1 + \\sqrt{3})}{(1 - \\sqrt{3})(1 + \\sqrt{3})}\\)\\(= \\frac{3 + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{3} + 3}{1 - 3}\\)\\(= \\frac{6 + 4\\sqrt{3}}{-2}\\)\\(= -3 - 2\\sqrt{3}\\). d) \\(\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})}{(\\sqrt{3} + \\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})}\\)\\(= \\frac{\\sqrt{6} - 2}{3 - 2}\\)\\(= \\sqrt{6} - 2\\). ",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.21",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 59",
 "question": {
 "content": "Rút gọn biểu thức: a) \\(2\\sqrt{\\frac{2}{3}} - 4\\sqrt{\\frac{3}{2}}\\); b) \\(\\frac{5\\sqrt{48} - 3\\sqrt{27} + 2\\sqrt{12}}{\\sqrt{3}}\\); c) \\(\\frac{1}{3 + 2\\sqrt{2}} + \\frac{4\\sqrt{2} - 4}{2 - \\sqrt{2}}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Thực hiện phép biến đổi trục căn thức hoặc đưa thừa số ra ngoài dấu căn.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "a) \\(2\\sqrt{\\frac{2}{3}} - 4\\sqrt{\\frac{3}{2}}\\)\\(= 2 \\frac{\\sqrt{6}}{3} - 4 \\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)\\(= \\frac{2\\sqrt{6}}{3} - 2\\sqrt{6}\\)\\(= \\frac{2\\sqrt{6} - 6\\sqrt{6}}{3}\\)\\(= -\\frac{4\\sqrt{6}}{3}\\). b) \\(\\frac{5\\sqrt{48} - 3\\sqrt{27} + 2\\sqrt{12}}{\\sqrt{3}}\\)\\(= \\frac{20\\sqrt{3} - 9\\sqrt{3} + 4\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)\\(= \\frac{15\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)\\(= 15\\). c) \\(\\frac{1}{3 + 2\\sqrt{2}} + \\frac{4\\sqrt{2} - 4}{2 - \\sqrt{2}}\\)\\(= \\frac{3 - 2\\sqrt{2}}{3^2 - (2\\sqrt{2})^2} + \\frac{4(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2}(\\sqrt{2} - 1)}\\)\\(= 3 - 2\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2}\\)\\(= 3\\). ",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.22",
 "source": "SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 59",
 "question": {
 "content": "Rút gọn biểu thức: \\(A = \\sqrt{x} \\left( \\frac{1}{\\sqrt{x} + 3} - \\frac{1}{3 - \\sqrt{x}} \\right)\\) (với \\(x \\ge 0, x \\neq 9\\)).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Thực hiện quy đồng trong ngoặc rồi rút gọn.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "Trong dấu ngoặc ta có: \\(\\frac{3 - \\sqrt{x} - (\\sqrt{x} + 3)}{(\\sqrt{x} + 3)(3 - \\sqrt{x})}\\) \\(= \\frac{-2\\sqrt{x}}{9 - x}\\) Do đó: \\(A = \\sqrt{x} \\cdot \\frac{-2\\sqrt{x}}{9 - x}\\) \\(= \\frac{-2x}{9 - x}\\) \\(= \\frac{2x}{x - 9}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 }
],
"quickQuestions": [
 {
 "q": "Kết quả của phép biến đổi đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức \\(\\sqrt{20}\\) là:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(4\\sqrt{5}\\)",
 "\\(2\\sqrt{5}\\)",
 "\\(5\\sqrt{2}\\)",
 "\\(10\\)"
 ],
 "answer": "\\(2\\sqrt{5}\\)",
 "explain": {
 "content": "Ta thực hiện phân tích số dưới dấu căn: \\(\\sqrt{20}\\) \\(= \\sqrt{2^2 \\cdot 5}\\) \\(= 2\\sqrt{5}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Đưa thừa số vào trong dấu căn của biểu thức \\(3\\sqrt{2}\\) ta được:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(\\sqrt{6}\\)",
 "\\(\\sqrt{12}\\)",
 "\\(\\sqrt{18}\\)",
 "\\(\\sqrt{36}\\)"
 ],
 "answer": "\\(\\sqrt{18}\\)",
 "explain": {
 "content": "Vì \\(3 > 0\\) nên ta đưa vào trong dấu căn bằng cách bình phương thừa số đó: \\(3\\sqrt{2}\\) \\(= \\sqrt{3^2 \\cdot 2}\\) \\(= \\sqrt{9 \\cdot 2}\\) \\(= \\sqrt{18}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) ta được kết quả là:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(2\\sqrt{3}\\)",
 "\\(6\\sqrt{3}\\)",
 "\\(\\sqrt{3}\\)",
 "\\(2\\)"
 ],
 "answer": "\\(2\\sqrt{3}\\)",
 "explain": {
 "content": "Nhân cả tử và mẫu với \\(\\sqrt{3}\\): \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) \\(= \\frac{6\\sqrt{3}}{3}\\) \\(= 2\\sqrt{3}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Với biểu thức \\(a < 0\\) và \\(b \\ge 0\\), khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(\\sqrt{a^2b} = a\\sqrt{b}\\)",
 "\\(\\sqrt{a^2b} = -a\\sqrt{b}\\)",
 "\\(\\sqrt{a^2b} = |a|b\\)",
 "\\(\\sqrt{a^2b} = -a^2\\sqrt{b}\\)"
 ],
 "answer": "\\(\\sqrt{a^2b} = -a\\sqrt{b}\\)",
 "explain": {
 "content": "Theo công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \\(\\sqrt{a^2b}\\) \\(= |a|\\sqrt{b}\\). Vì \\(a < 0\\) nên \\(|a| = -a\\). Do đó, biểu thức bằng \\(-a\\sqrt{b}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 },
 {
 "q": "Giá trị của biểu thức rút gọn \\(\\sqrt{125} - \\sqrt{45}\\) là:",
 "figure": [],
 "table": [],
 "options": [
 "\\(\\sqrt{80}\\)",
 "\\(2\\sqrt{5}\\)",
 "\\(4\\sqrt{5}\\)",
 "\\(5\\)"
 ],
 "answer": "\\(2\\sqrt{5}\\)",
 "explain": {
 "content": "Đưa các thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện các căn thức đồng dạng: \\(\\sqrt{125} - \\sqrt{45}\\) \\(= 5\\sqrt{5} - 3\\sqrt{5}\\) \\(= 2\\sqrt{5}\\).",
 "figure": [],
 "table": []
 }
 }
],
"sbtExercises": [
 {
 "number": "Bài 3.15",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 36",
 "question": {
 "content": "Tính giá trị biểu thức \\(P = (\\sqrt{20} + 2\\sqrt{45} - 3\\sqrt{80})^2\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Rút gọn biểu thức trong ngoặc bằng cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn trước khi bình phương.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "Ta có biểu thức trong dấu ngoặc: \\(\\sqrt{20} + 2\\sqrt{45} - 3\\sqrt{80}\\) \\(= \\sqrt{4 \\cdot 5} + 2\\sqrt{9 \\cdot 5} - 3\\sqrt{16 \\cdot 5}\\) \\(= 2\\sqrt{5} + 2 \\cdot 3\\sqrt{5} - 3 \\cdot 4\\sqrt{5}\\) \\(= 2\\sqrt{5} + 6\\sqrt{5} - 12\\sqrt{5}\\) \\(= (2 + 6 - 12)\\sqrt{5}\\) \\(= -4\\sqrt{5}\\). Khi đó: \\(P = (-4\\sqrt{5})^2\\) \\(= 16 \\cdot 5\\) \\(= 80\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.16",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 36",
 "question": {
 "content": "Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: \\(9\\sqrt{2}\\); \\(8\\sqrt{3}\\); \\(5\\sqrt{6}\\); \\(4\\sqrt{7}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh giá trị các căn bậc hai.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta có: \\(9\\sqrt{2} = \\sqrt{9^2 \\cdot 2} = \\sqrt{81 \\cdot 2} = \\sqrt{162}\\). \\(8\\sqrt{3} = \\sqrt{8^2 \\cdot 3} = \\sqrt{64 \\cdot 3} = \\sqrt{192}\\). \\(5\\sqrt{6} = \\sqrt{5^2 \\cdot 6} = \\sqrt{25 \\cdot 6} = \\sqrt{150}\\). \\(4\\sqrt{7} = \\sqrt{4^2 \\cdot 7} = \\sqrt{16 \\cdot 7} = \\sqrt{112}\\). Vì \\(112 < 150 < 162 < 192\\) nên \\(\\sqrt{112} < \\sqrt{150} < \\sqrt{162} < \\sqrt{192}\\). Vậy thứ tự tăng dần là: \\(4\\sqrt{7}\\); \\(5\\sqrt{6}\\); \\(9\\sqrt{2}\\); \\(8\\sqrt{3}\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.17",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 36",
 "question": {
 "content": "Thực hiện phép tính \\(\\left( \\frac{1}{\\sqrt{8} + \\sqrt{7}} + \\sqrt{175} - 2\\sqrt{2} \\right)^2\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Trục căn thức ở mẫu của phân thức đầu tiên và đưa thừa số ra ngoài dấu căn cho số hạng thứ hai.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc: ● \\(\\frac{1}{\\sqrt{8} + \\sqrt{7}} = \\frac{\\sqrt{8} - \\sqrt{7}}{8 - 7} = 2\\sqrt{2} - \\sqrt{7}\\). ● \\(\\sqrt{175} = \\sqrt{25 \\cdot 7} = 5\\sqrt{7}\\). Biểu thức trong ngoặc trở thành: \\(2\\sqrt{2} - \\sqrt{7} + 5\\sqrt{7} - 2\\sqrt{2}\\) \\(= 4\\sqrt{7}\\). Giá trị của phép tính là: \\((4\\sqrt{7})^2\\) \\(= 16 \\cdot 7\\) \\(= 112\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.18",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 36",
 "question": {
 "content": "Thực hiện phép tính \\(\\sqrt{\\frac{3 - 2\\sqrt{2}}{17 - 12\\sqrt{2}}} - \\sqrt{\\frac{3 + 2\\sqrt{2}}{17 + 12\\sqrt{2}}}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Chú ý rằng \\(17 - 12\\sqrt{2} = (3 - 2\\sqrt{2})^2\\) và \\(17 + 12\\sqrt{2} = (3 + 2\\sqrt{2})^2\\).", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "Sử dụng hằng đẳng thức \\(17 \\pm 12\\sqrt{2} = (3 \\pm 2\\sqrt{2})^2\\), ta có: \\(\\sqrt{\\frac{3 - 2\\sqrt{2}}{(3 - 2\\sqrt{2})^2}} - \\sqrt{\\frac{3 + 2\\sqrt{2}}{(3 + 2\\sqrt{2})^2}}\\) \\(= \\sqrt{\\frac{1}{3 - 2\\sqrt{2}}} - \\sqrt{\\frac{1}{3 + 2\\sqrt{2}}}\\) \\(= \\sqrt{\\frac{3 + 2\\sqrt{2}}{9 - 8}} - \\sqrt{\\frac{3 - 2\\sqrt{2}}{9 - 8}}\\) \\(= \\sqrt{3 + 2\\sqrt{2}} - \\sqrt{3 - 2\\sqrt{2}}\\) \\(= \\sqrt{(\\sqrt{2} + 1)^2} - \\sqrt{(\\sqrt{2} - 1)^2}\\) \\(= (\\sqrt{2} + 1) - (\\sqrt{2} - 1)\\) \\(= 2\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.19",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 36",
 "question": {
 "content": "Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên: \\(P = \\left( \\frac{\\sqrt{5} + 1}{1 + \\sqrt{5} + \\sqrt{3}} + \\frac{\\sqrt{5} - 1}{1 + \\sqrt{3} - \\sqrt{5}} \\right) \\left( \\sqrt{3} - \\frac{4}{\\sqrt{3}} + 2 \\right) \\sqrt{0,2}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Quy đồng mẫu thức cho ngoặc đầu tiên và rút gọn ngoặc thứ hai.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "Xét ngoặc thứ nhất (đặt \\(1 + \\sqrt{3} = a\\)): \\(\\frac{(\\sqrt{5} + 1)(a - \\sqrt{5}) + (\\sqrt{5} - 1)(a + \\sqrt{5})}{a^2 - 5}\\) \\(= \\frac{2a\\sqrt{5} - 10}{a^2 - 5}\\) \\(= \\frac{2\\sqrt{15} - 2\\sqrt{5}}{2\\sqrt{3} - 1}\\) \\(= \\frac{2\\sqrt{5}(\\sqrt{3} - 1)}{\\sqrt{3}(\\sqrt{3} - 1) + (\\sqrt{3} - 1)}\\). \\(= \\frac{2\\sqrt{15}}{2\\sqrt{3} - 1} \\cdot \\frac{-1 + 2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} \\cdot \\sqrt{0,2}\\) \\(= 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{0,2}\\) \\(= 2\\sqrt{1}\\) \\(= 2\\). Vì 2 là số nguyên nên biểu thức có giá trị là một số nguyên.",
 "figure": [], "table": []
 }
 },
 {
 "number": "Bài 3.20",
 "source": "SBT Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống, trang 36",
 "question": {
 "content": "a) Trục căn ở mẫu của biểu thức \\(\\frac{3 + \\sqrt{2}}{2\\sqrt{2} - 1}\\). b) Tính giá trị biểu thức \\(P = x(x^4 - 6x^2 + 1)\\) tại \\(x = \\frac{3 + \\sqrt{2}}{2\\sqrt{2} - 1}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "hint": { "content": "Nhân liên hợp ở câu a. Ở câu b, sử dụng giá trị rút gọn của x để biến đổi biểu thức.", "figure": [], "table": [] },
 "solution": {
 "content": "a) \\(\\frac{3 + \\sqrt{2}}{2\\sqrt{2} - 1} = \\frac{(3 + \\sqrt{2})(2\\sqrt{2} + 1)}{8 - 1}\\) \\(= \\frac{6\\sqrt{2} + 3 + 4 + \\sqrt{2}}{7}\\) \\(= \\frac{7\\sqrt{2} + 7}{7}\\) \\(= \\sqrt{2} + 1\\). b) Với \\(x = \\sqrt{2} + 1\\) \\(x - 1 = \\sqrt{2}\\) \\((x - 1)^2 = 2\\) \\(x^2 - 2x + 1 = 2\\) \\(x^2 - 1 = 2x\\) \\((x^2 - 1)^2 = 4x^2\\) \\(x^4 - 2x^2 + 1 = 4x^2\\) \\(x^4 - 6x^2 + 1 = 0\\). Vậy \\(P = x \\cdot 0 = 0\\).",
 "figure": [], "table": []
 }
 }
],
"finalTest": {
 "mcq": [
 {
 "q": {
 "content": "Câu 1: Rút gọn biểu thức \\(\\sqrt{12} + \\sqrt{27} - \\sqrt{3}\\) ta được kết quả là:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "options": [
 "\\(4\\sqrt{3}\\)",
 "\\(5\\sqrt{3}\\)",
 "\\(6\\sqrt{3}\\)",
 "\\(3\\sqrt{3}\\)"
 ],
 "answer": 0
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 2: Với \\(a < 0\\) và \\(b \\ge 0\\), biểu thức \\(a\\sqrt{b}\\) khi đưa thừa số vào trong dấu căn sẽ bằng:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "options": [
 "\\(\\sqrt{a^2b}\\)",
 "\\(-\\sqrt{a^2b}\\)",
 "\\(\\sqrt{-a^2b}\\)",
 "\\(-\\sqrt{ab^2}\\)"
 ],
 "answer": 1
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 3: Kết quả của phép trục căn thức ở mẫu cho biểu thức \\(\\frac{2}{\\sqrt{3}-1}\\) là:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "options": [
 "\\(\\sqrt{3}-1\\)",
 "\\(2(\\sqrt{3}+1)\\)",
 "\\(\\sqrt{3}+1\\)",
 "\\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{2}\\)"
 ],
 "answer": 2
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 4: Biểu thức \\(\\sqrt{\\frac{5}{3}}\\) sau khi khử mẫu của biểu thức lấy căn là:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "options": [
 "\\(\\frac{\\sqrt{15}}{3}\\)",
 "\\(\\frac{5}{3}\\)",
 "\\(\\frac{\\sqrt{5}}{3}\\)",
 "\\(\\frac{\\sqrt{15}}{5}\\)"
 ],
 "answer": 0
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 5: Rút gọn biểu thức \\(\\sqrt{2} \\cdot (\\sqrt{8} - \\sqrt{2})\\) ta được:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "options": [
 "\\(4\\)",
 "\\(2\\)",
 "\\(\\sqrt{2}\\)",
 "\\(0\\)"
 ],
 "answer": 1
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 6: Giá trị của biểu thức \\(\\frac{\\sqrt{108}}{\\sqrt{3}}\\) là:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "options": [
 "\\(36\\)",
 "\\(18\\)",
 "\\(6\\)",
 "\\(\\sqrt{6}\\)"
 ],
 "answer": 2
 }
 ],
 "tf": [
 {
 "q": {
 "content": "Câu 7: Xác định tính Đúng / Sai của các khẳng định sau về các phép biến đổi căn thức bậc hai:",
 "figure": [], "table": []
 },
 "items": [
 {
 "t": { "content": "Đẳng thức \\(\\sqrt{A^2B} = A\\sqrt{B}\\) luôn đúng với mọi số thực \\(A\\) và \\(B \\ge 0\\).", "figure": [], "table": [] },
 "ans": false
 },
 {
 "t": { "content": "Biểu thức liên hợp của \\(\\sqrt{a} + \\sqrt{b}\\) là \\(\\sqrt{a} - \\sqrt{b}\\).", "figure": [], "table": [] },
 "ans": true
 },
 {
 "t": { "content": "Phép tính \\(\\sqrt{125} - 5\\sqrt{5}\\) có kết quả bằng 0.", "figure": [], "table": [] },
 "ans": true
 },
 {
 "t": { "content": "Trục căn thức ở mẫu của \\(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\) ta được \\(\\frac{\\sqrt{2}}{4}\\).", "figure": [], "table": [] },
 "ans": false
 }
 ]
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 8: Cho biểu thức \\(A = \\frac{x-4}{\\sqrt{x}+2}\\) với \\(x \\ge 0\\). Các khẳng định sau đúng hay sai?",
 "figure": [], "table": []
 },
 "items": [
 {
 "t": { "content": "Biểu thức rút gọn của \\(A\\) là \\(\\sqrt{x}-2\\).", "figure": [], "table": [] },
 "ans": true
 },
 {
 "t": { "content": "Tại \\(x = 0\\), giá trị của \\(A\\) là \\(-2\\).", "figure": [], "table": [] },
 "ans": true
 },
 {
 "t": { "content": "Giá trị của biểu thức \\(A\\) luôn luôn không âm với mọi \\(x \\ge 0\\).", "figure": [], "table": [] },
 "ans": false
 },
 {
 "t": { "content": "Tại \\(x = 4\\), giá trị của biểu thức \\(A\\) bằng 0.", "figure": [], "table": [] },
 "ans": true
 }
 ]
 }
 ],
 "short": [
 {
 "q": {
 "content": "Câu 9: Tính giá trị của biểu thức \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{18}\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "answer": "6"
 },
 {
 "q": {
 "content": "Câu 10: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \\(\\frac{\\sqrt{3}+1}{\\sqrt{3}-1}\\) rồi rút gọn về dạng \\(a + \\sqrt{b}\\). Tìm giá trị của số nguyên \\(a\\).",
 "figure": [], "table": []
 },
 "answer": "2"
 }
 ]
},
"faq": [
 {
 "q": "Làm thế nào để đưa một thừa số ra ngoài dấu căn chính xác nhất?",
 "a": "Ta cần phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích các thừa số, trong đó có một thừa số là bình phương của một số hoặc biểu thức khác. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức \\(\\sqrt{A^2 \\cdot B} = |A|\\sqrt{B}\\). Lưu ý phải sử dụng dấu giá trị tuyệt đối để tránh sai sót về dấu."
 },
 {
 "q": "Tại sao khi đưa thừa số âm vào trong dấu căn lại phải để dấu '-' ở ngoài?",
 "a": "Vì căn bậc hai của một số không âm luôn là một số không âm. Nếu \\(A < 0\\), biểu thức \\(A\\sqrt{B}\\) mang giá trị âm, nên khi đưa \\(A\\) vào trong căn (thành \\(A^2\\)), ta phải đặt dấu '-' phía trước để đảm bảo giá trị của biểu thức không thay đổi: \\(A\\sqrt{B} = -\\sqrt{A^2B}\\)."
 },
 {
 "q": "Khi nào thì cần sử dụng biểu thức liên hợp để trục căn thức ở mẫu?",
 "a": "Ta sử dụng biểu thức liên hợp khi mẫu thức có dạng tổng hoặc hiệu chứa căn thức bậc hai, ví dụ \\(\\sqrt{A} \\pm B\\) hoặc \\(\\sqrt{A} \\pm \\sqrt{B}\\). Việc nhân với biểu thức liên hợp giúp tận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để làm mất căn thức ở mẫu."
 },
 {
 "q": "Làm sao để rút gọn một biểu thức chứa nhiều căn thức phức tạp?",
 "a": "Quy trình chung là: 1. Đưa các thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có thể); 2. Thực hiện khử mẫu hoặc trục căn thức để làm đơn giản mẫu số; 3. Thực hiện các phép tính cộng, trừ các căn thức đồng dạng hoặc quy đồng mẫu thức để rút gọn."
 },
 {
 "q": "Có lỗi sai nào thường gặp khi thực hiện các phép biến đổi này không?",
 "a": "Lỗi phổ biến nhất là quên dấu giá trị tuyệt đối khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn và nhầm lẫn về dấu khi nhân với biểu thức liên hợp. Ngoài ra, học sinh cũng thường quên đặt hoặc kiểm tra điều kiện xác định của căn thức trước khi biến đổi."
 }
]
}

Tác giả nội dung

Math Tricks

Bài học được biên soạn theo hướng dễ hiểu, trực quan và truyền cảm hứng học Toán. Vui lòng ghi nguồn Math Tricks khi chia sẻ hoặc sử dụng lại nội dung.

📘 Toán THCS 🎮 Học tương tác 🧠 Mẹo học nhanh ✅ Có lời giải

🏠 Trang chủ 📚 Toán 6 📚 Toán 7 📚 Toán 8 📚 Toán 9

📚 Bài mới cập nhật

Đang tải bài viết...

Math Tricks

Toán 9 - Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Kết nối tri thức | Math Tricks

Math Tricks

📚 Bài mới cập nhật

Tìm kiếm bài học

Ngôn Ngữ

Liên hệ/Góp ý

Số lượt truy cập gần đây

Từ khóa bài học